數值解(numerical solution)是指在特定條件下通過近似計算得出來的乙個數值，是採用某種計算方法，如有限元的方法、 數值逼近、插值的方法 得到的解。
例如，求微分方程的初值問題
解析解(analytical solution)，就是給出解的具體函式形式，從解的表示式中就可以算出任何對應值。即包含分式、三角函式、指數、對數甚至無限級數等基本函式的解的形式。給出解的具體函式形式，從解的表示式中就可以算出任何對應值。用來求得解析解的方法稱為解析法，解析法是常見的微積分技巧，如分離變數法等。
龍格-庫塔(runge-kutta)方法是一種在工程上應用廣泛的高精度單步演算法。由於此演算法精度高，採取措施對誤差進行抑制，所以其實現原理也較複雜。
該演算法是構建在泰勒級數的基礎之上的。對於一階精度的拉格朗日中值定理有：
對於微分方程：y'=f(x,y)
y(i+1)=y(i)+h*k1
k1=f(xi,yi)
當用點xi處的斜率近似值k1與右端點xi+1處的斜率k2的算術平均值作為平均斜率k*的近似值，那麼就會得到二階精度的改進拉格朗日中值定理：
y(i+1)=y(i)+[h*( k1+ k2)/2]
k1=f(xi,yi)
k2=f(x(i)+h,y(i)+h*k1)
依次類推，如果在區間[xi,xi+1]內多預估幾個點上的斜率值k1、k2、……km，並用他們的加權平均數作為平均斜率k*的近似值，顯然能構造出具有很高精度的高階計算公式。經數學推導、求解，可以得出四階龍格－庫塔公式，也就是在工程中應用廣泛的經典龍格－庫塔演算法：
y(i+1)=y(i)+h*( k1+ 2*k2 +2*k3+ k4)/6
k1=f(x(i),y(i))
k2=f(x(i)+h/2,y(i)+h*k1/2)
k3=f(x(i)+h/2,y(i)+h*k2/2)
k4=f(x(i)+h,y(i)+h*k3)
通常所說的龍格-庫塔法是指四階而言的，我們可以仿二階、三階的情形推導出常用的標準四階龍格-庫塔法公式。
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