Dijkstra 最短路徑演算法秒懂詳解

想必大家一定會floyd了吧，floyd只要暴力的三個for就可以出來，**好背，也好理解，但缺點就是時間複雜度高是o(n³)。

這個演算法所求的是單源最短路，好比說你寫好了dijkstra的函式，那麼只要輸入點a的編號，就可算出圖上每個點到這個點的距離。

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圖大概是這個樣子：

我們以1為源點，來求所有點到一號點的最短路徑。

先建立乙個dis陣列，dis[i]表示第i號點到源點（1號點）的估計值，你可能會問為什麼是估計值，因為這個估計值會不斷更新，更新到一定次數就變成答案了，這個我們一會再說。

然後我們在建立乙個臨界矩陣，叫做：map，map[i][j]=v表示從i到j這條邊的權值是v。

dis初始值除了源點本身都是無窮大。源點本身都是0.

先從1號點開始。一號點，map[1][2]=5,一號點離2號點是5，比無窮大要小，所以dis[2]從無窮大變成了5。順便，我們用minn記錄距離1號點最短的點，留著以後會用。

dis[0,5,∞,∞,∞]。minn=2。

然後搜到3號點，map[1][3]=8,距離是8，比原來的dis[3]的∞小，於是dis[3]=8。但是8比dis[2]的5要大，所以minn不更新。

dis[0,5,8,∞,∞]

接著分別搜尋4,5號點，發現map[1][4],map[1][5]都是∞，所以就不更新。

現在，dis陣列所呈現的明顯不是最終答案，因為我們才更新一遍，現在我們開始第二次更新，第二次更新以什麼為開始呢？就是以上一次我們存下來的，minn，相當於把2當源點，求所有點到它的最短路，加上它到真正的源點（1號點）的距離，就是我們要求的最短路。

從2號點開始，搜尋3號點，map[2][3]=1，原本dis[3]=8，發現dis[2]+map[2][3]=5+1=6dis[0,5,6,∞,∞] minn=3.

然後搜尋4號點，map[2][4]=3,原本dis[4]=∞,所以，dis[2]+map[2][4]=5+3=81,minn不更新。

dis[0,5,6,8,∞] minn=3.

接著搜尋5號點，map[2][5]=2,5+2=7,7

dis[0,5,6,8,7]

三號點還是按照二號點的方法搜尋，發現沒有可以更新的，然後搜尋四號。

四號搜5號點，發現8+7>5+2,所以依然不更新，然後跳出迴圈。

現在的估計值就全部為確定值了：

dis[0,5,6,8,7]

這就是每個點到源點一號點的距離，我們來看一下**：

#include #include 
#include 
#include 
#include 
#include 
using
namespace
std;
int map[110][110];//
這就是map陣列，儲存圖
int dis[10010];//
dis陣列，儲存估計值
int book[10010];//
book[i]代表這個點有沒有被當做源點去搜尋過，1
為有，0為沒有。這樣就不會重複搜尋了。
intn,m;
void dijkstra(int u)//
主函式，引數是源點編號
for(int i=1;i<=n-1;i++)
book[start]=1
;        
for(int j=1;j<=n;j++)
dis[j]=min(dis[j],dis[start]+map[start][j]);//
以新的點來更新dis。}}
intmain()
for(int i=1;i<=n;i++)
for(int j=1;j<=n;j++)
if(i==j)
map[i][j]=0
;    dijkstra(
1);//以1為源點。
for(int i=1;i<=n;i++)
cout
}

這就是用鄰接矩陣實現dijkstra，但是這個演算法有乙個壞處，就是出現負權邊，這個演算法就炸了，要解決負權邊，我以後會給大家帶來bell man ford（spfa）

這個演算法的複雜度是o(n²)，空間複雜度也是n平方，如果用鄰接表來實現，最差情況，時間複雜度是o(n*m)似乎比n²要大一些，但是空間複雜度會從n平方變成m，少了很多，現在我呈上鄰接表的**。

#include #include 
#include 
#include 
#include 
#include 
using
namespace
std;
int value[10010],to[10010],next[10010
];int head[10010
],total;
int book[10010
];int dis[10010
];int
n,m;
void adl(int a,int b,int
c)void dijkstra(intu)}
intmain()
dijkstra(1);
for(int i=1;i<=n;i++)
cout
}

一年多了，身為乙個oier，經歷了太多。

當年那麼畏懼的dijkstra、鄰接表，現在已經是信手拈來。

那個暑假，因為djkstra名字的朗朗上口，講自己名字改為了dijkstra，但是逐漸因為spfa的可處理負權邊，也將dijkstra,淡忘。

如今突然想起，加入了堆優化，有人說：一道題如果邊權沒有負數，那麼一定是在卡spfa。這時候就用到了堆優化的dijkstra。

一年前提到，樸素的dijkstra時間複雜度是n^2，被spfa的m*常數吊打，但是，經過堆優化，dijkstra的時間複雜度能達到nlogn，如果這個圖特別稠密的話，也就是m特別大（比如完全圖就是n^2），那麼nlogn是要小於m的，這就用到了dijkstra

首先堆優化怎麼優化？觀察上面的**，每次迴圈中都再巢狀乙個迴圈求dis值最小的點。這裡，我們可以用乙個優先佇列，每當搜尋到乙個新點，扔到優先佇列裡面，這樣每次就取隊首的絕對是最優值。這樣可以省去for迴圈。

#include #include 
#include 
#include 
#include 
#include 
#include 
#define in(a) a=read()
#define rep(i,k,n) for(long long i=k;i<=n;i++)
#define maxn 10010
using
namespace
std;
typedef pair
long,long
long>p;
inline 
long
long
read()
long
long
n,m,s;
long
long total=0,head[maxn],nxt[maxn<<10],to[maxn<<10],val[maxn<<10
];long
long
dis[maxn],vis[maxn];
priority_queue 
,greater> q;//
優先佇列優化
inline void adl(long
long a,long
long b,long
long
c)inline 
void
dijkstra()
}return;}
intmain()

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