一，問題：n個拿著1元，n個人拿著2元去買票。票價一元，且售票元只能用n個人購票的一元給2元的找零。問有幾種排列方法
分析：卡特蘭數方法
遞推公式：f(2*n) =f(0)*f(2(n-1)) +f(1)*f(2(n-2))+……+f(2(n-1))*f(0)
f(n) =f(0)*f(n-1) +f(1)*f(n-2)+……+f(n-1)*f(0)
解答：所有序列的個數 ：c (2n，n) (ps:由於數學函式難打，這裡表示從2n個位置中挑選n個存放1)
非法序列的個數：假設有一種序列 n-1個1元，n+1個2元。這種序列個數：c (2n，n-1)
存在k使得這個序列中1的個數比2少1個，則將其後的所有1換成2，所有2換成1。則該序列有n個1，n個2。這樣這種序列（n-1個1，n+1個2）跟（n個1，n個2）一一對應。所以，非法序列個數為：c (2n，n-1)
所以合法序列個數：c (2n，n) - c (2n，n-1) =c (2n，n) /(n+1)
二，擴充套件問題：n個結點可以構造多少個不同的二叉樹
分析解答：
當n=1時，只有1個根節點，則只能組成1種形態的二叉樹，令n個節點可組成的二叉樹數量表示為h(n)，則h(1)=1; h(0)=0;
當n=2時，1個根節點固定，還有2-1個節點。這乙個節點可以分成（1,0），（0,1）兩組。即左邊放1個，右邊放0個；或者左邊放0個，右邊放1個。即：h(2)=h(0)*h(1)+h(1)*h(0)=2，則能組成2種形態的二叉樹。
當n=3時，1個根節點固定，還有2個節點。這2個節點可以分成（2,0），（1,1），（0,2）3組。即h(3)=h(0)*h(2)+h(1)*h(1)+h(2)*h(0)=5，則能組成5種形態的二叉樹。
以此類推，當n>=2時，可組成的二叉樹數量為h(n)=h(0)*h(n-1)+h(1)*h(n-2)+...+h(n-1)*h(0)種，即符合catalan數的定義，可直接利用通項公式得出結果。
令h(1)＝1,h(0)=1，catalan數（卡特蘭數）滿足遞迴式：
h(n)= h(0)*h(n-1)+h(1)*h(n-2) + ... + h(n-1)h(0) (其中n>=2)
另類遞迴式：
h(n)=((4*n-2)/(n+1))*h(n-1);
該遞推關係的解為：
h(n)=c(2n,n)/(n+1) (n=1,2,3,...)
擴充套件：卡特蘭數的應用 （實質上都是遞迴等式的應用）
1、括號化問題 矩陣鏈乘： p=a1×a2×a3×……×an，依據乘法結合律，不改變其順序，只用括號表示成對的乘積，試問有幾種括號化的方案？(h(n)種)
2、出棧次序問題 乙個棧(無窮大)的進棧序列為1，2，3，…，n，有多少個不同的出棧序列?
分析對於每乙個數來說，必須進棧一次、出棧一次。我們把進棧設為狀態『1』，出棧設為狀態『0』。n個數的所有狀態對應n個1和n個0組成的2n位二進位制數。由於等待入棧的運算元按照1‥n的順序排列、入棧的運算元b大於等於出棧的運算元a(a≤b)，因此輸出序列的總數目=由左而右掃瞄由n個1和n個0組成的2n位二進位制數，1的累計數不小於0的累計數的方案種數。
在2n位二進位制數中填入n個1的方案數為c(2n,n),不填1的其餘n位自動填0。從中減去不符合要求（由左而右掃瞄，0的累計數大於1的累計數）的方案數即為所求。
不符合要求的數的特徵是由左而右掃瞄時，必然在某一奇數字2m+1位上首先出現m+1個0的累計數和m個1的累計數，此後的2(n-m)-1位上有n-m個 1和n-m-1個0。如若把後面這2(n-m)-1位上的0和1互換，使之成為n-m個0和n-m-1個1，結果得1個由n+1個0和n-1個1組成的2n位數，即乙個不合要求的數對應於乙個由n+1個0和n-1個1組成的排列。
反過來，任何乙個由n+1個0和n-1個1組成的2n位二進位制數，由於0的個數多2個，2n為偶數，故必在某乙個奇數字上出現0的累計數超過1的累計數。同樣在後面部分0和1互換，使之成為由n個0和n個1組成的2n位數，即n+1個0和n-1個1組成的2n位數必對應乙個不符合要求的數。
因而不合要求的2n位數與n＋1個0，n－1個1組成的排列一一對應。
顯然，不符合要求的方案數為c(2n,n+1)。由此得出 輸出序列的總數目=c(2n,n)-c(2n,n+1)=1/(n+1)*c(2n,n)。
（這個公式的下標是從h(0)=1開始的）
類似問題
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3、凸多邊形的三角剖分問題 求將乙個凸多邊形區域分成三角形區域的方法數。
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