約瑟夫環問題兩解

繼續筆試準備ing……分享一下昨天做到的其中一題，其實題目很老，也做過n遍了，但複習起來也是頗有韻味，同時還發現另一種妙解，感覺不錯的。

問題描述：

約瑟夫環問題(josephus)

使用者輸入m,n值，從1至n開始順序迴圈數數，每數到m輸出該數值，直至全部輸出。寫出c程式。（約瑟夫環問題 josephus）

解法一(my solution)：

思想：建立乙個有n個元素的迴圈鍊錶，然後從煉表頭開始遍歷並記數，如果計數i==m(i初始為1)踢出元素，繼續迴圈，當當前元素與下一元素相同時退出迴圈。

**：

/*
約瑟夫環問題(josephus)
使用者輸入m,n值，從1至n開始順序迴圈數數，每數到m輸出該數值，直至全部輸出。寫出c程式。（約瑟夫環問題 josephus）
code by eric yang 2009
*/#include #include // 鍊錶節點
typedef struct _ringnode
ringnode, *ringnodeptr;
// 建立約瑟夫環，phead:煉表頭指標，count:鍊錶元素個數
void createring(ringnodeptr phead, int count)
pcurr->next = phead;  // 構成環狀鍊錶
}void printring(ringnodeptr phead)
}void kickfromring(ringnodeptr phead, int m)
pprev = pcurr;
pcurr = pcurr->next;
if (pprev == pcurr)
i++;
}}int main()
// 建立鍊錶
phead = (ringnodeptr)malloc(sizeof(ringnode));
phead->pos = 1;
phead->next = null;
createring(phead, n);
#ifdef _debug
printring(phead);
#endif
// 開始出圈
printf("\nkick order: ");
kickfromring(phead, m);    
printf("\n");
system("pause");
return 0;
}

解法二(from net)：

無論是用鍊錶實現還是用陣列實現都有乙個共同點：要模擬整個遊戲過程，不僅程式寫起來比較煩，而且時間複雜度高達o(nm)，當n，m非常大(例如上百萬，上千萬)的時候，幾乎是沒有辦法在短時間內出結果的。我們注意到原問題僅僅是要求出最後的勝利者的序號，而不是要讀者模擬整個過程。因此如果要追求效率，就要打破常規，實施一點數學策略。

為了討論方便，先把問題稍微改變一下，並不影響原意：

問題描述：n個人（編號0~(n-1))，從0開始報數，報到(m-1)的退出，剩下的人繼續從0開始報數。求勝利者的編號。

我們知道第乙個人(編號一定是m%n-1) 出列之後，剩下的n-1個人組成了乙個新的約瑟夫環（以編號為k=m%n的人開始）:

k k+1 k+2 ... n-2, n-1, 0, 1, 2, ... k-2並且從k開始報0。

現在我們把他們的編號做一下轉換：

k --> 0

k+1 --> 1

k+2 --> 2

......

k-2 --> n-2

k-1 --> n-1

變換後就完完全全成為了(n-1)個人報數的子問題，假如我們知道這個子問題的解：例如x是最終的勝利者，那麼根據上面這個表把這個x變回去不剛好就是n個人情況的解嗎？！！變回去的公式很簡單，相信大家都可以推出來：x'=(x+k)%n

如何知道(n-1)個人報數的問題的解？對，只要知道(n-2)個人的解就行了。(n-2)個人的解呢？當然是先求(n-3)的情況 ---- 這顯然就是乙個倒推問題！好了，思路出來了，下面寫遞推公式：

令f[i]表示i個人玩遊戲報m退出最後勝利者的編號，最後的結果自然是f[n]

遞推公式

f[1]=0;

f[i]=(f[i-1]+m)%i; (i>1)

有了這個公式，我們要做的就是從1-n順序算出f[i]的數值，最後結果是f[n]。因為實際生活中編號總是從1開始，我們輸出f[n]+1

由於是逐級遞推，不需要儲存每個f[i]，程式也是異常簡單：

int joseph(int n,int m)

{ int *f = new int[n+1];

f[0]=f[1]=0;

for (int i=2; i這個演算法的時間複雜度為o(n)，相對於模擬演算法已經有了很大的提高。算n，m等於一百萬，一千萬的情況不是問題了。可見，適當地運用數學策略，不僅可以讓程式設計變得簡單，而且往往會成倍地提高演算法執行效率。

約瑟夫環問題兩解

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