N 後0的個數

問題描述

給定引數n（n為正整數），請計算n的階乘n！末尾所含有「0」的個數。

例如，5！=120，其末尾所含有的「0」的個數為1；10！= 3628800，其末尾所含有的「0」的個數為2；20！= 2432902008176640000，其末尾所含有的「0」的個數為4。

計算公式

這裡先給出其計算公式，後面給出推導過程。

令f(x)表示正整數x末尾所含有的「0」的個數，則有：

當0 < n < 5時，f(n!) = 0;

當n >= 5時，f(n!) = k + f(k!), 其中 k = n / 5（取整）。

問題分析

顯然，對於階乘這個大數，我們不可能將其結果計算出來，再統計其末尾所含有的「0」的個數。所以必須從其數字特徵進行分析。下面我們從因式分解的角度切入分析。

我們先考慮一般的情形。對於任意乙個正整數，若對其進行因式分解，那麼其末尾的「0」必可以分解為2*5。在這裡，每乙個「0」必然和乙個因子「5」相對應。但請注意，乙個數的因式分解中因子「5」不一定對應著乙個「0」，因為還需要乙個因子「2」，才能實現其一一對應。

我們再回到原先的問題。這裡先給出乙個結論：

結論1：對於n的階乘n！，其因式分解中，如果存在乙個因子「5」，那麼它必然對應著n！末尾的乙個「0」。

下面對這個結論進行證明：

(1)當n < 5時, 結論顯然成立。

(2)當n >= 5時，令n！= [5k * 5(k-1) * ... * 10 * 5] * a，其中 n = 5k + r (0 <= r <= 4)，a是乙個不含因子「5」的整數。

對於序列5k, 5(k-1), ..., 10, 5中每乙個數5i(1 <= i <= k)，都含有因子「5」，並且在區間(5(i-1),5i)(1 <= i <= k)內存在偶數，也就是說，a中存在乙個因子「2」與5i相對應。即，這裡的k個因子「5」與n！末尾的k個「0」一一對應。

我們進一步把n！表示為：n！= 5^k * k! * a（公式1），其中5^k表示5的k次方。很容易利用(1)和迭代法，得出結論1。

上面證明了n的階乘n！末尾的「0」與n！的因式分解中的因子「5」是一一對應的。也就是說，計算n的階乘n！末尾的「0」的個數，可以轉換為計算其因式分解中「5」的個數。

令f(x)表示正整數x末尾所含有的「0」的個數, g(x)表示正整數x的因式分解中因子「5」的個數，則利用上面的的結論1和公式1有：

f(n!) = g(n!) = g(5^k * k! * a) = k + g(k!) = k + f(k!)

所以，最終的計算公式為：

當0 < n < 5時，f(n!) = 0;

當n >= 5時，f(n!) = k + f(k!), 其中 k = n / 5（取整）。