平衡二叉樹中點的數量

平衡二叉樹，又叫平衡二叉搜尋樹（self-balancing binary search tree），其定義為：它是一棵空樹或它的左右兩個子樹的高度差的絕對值不超過1，並且左右兩個子樹都是一棵平衡二叉樹。

由定義可知，對於一棵高度為n的樹，其點最少的情況為：左子樹與右子樹中，一者為高為n的最小平衡二叉樹，另一者為高為n - 1的最小平衡二叉樹，因此，對於高度為n的平衡二叉樹，其最少點的數量為：f(n)=f(n-1)+f(n-2)+1，即左子樹與右子樹的點的數量的和，再加上根節點的1。遞迴的初始值為f(1) = 1, f(2) = 2。

而對於高度為n的平衡二叉樹，點最大情況即為其為一棵滿的二叉樹的情況，即完美二叉樹時（注意：不是完全二叉樹，完全二叉樹允許最後一行的點不滿，但是需要位於左端），此時，點的數量為2 ^ n - 1。這裡高度的定義方式為，最底層的高度為1，若最底層的高度為0的話，則n層的樹的完美二叉樹的點的數量為2 ^ (n + 1) - 1。