資料結構篇優先順序佇列（堆）

優先順序佇列，也叫二叉堆、堆（不要和記憶體中的堆區搞混了，不是乙個東西，乙個是記憶體區域，乙個是資料結構）。

堆的本質上是一種完全二叉樹，分為：

均以大根堆為例

堆本質上是一顆完全二叉樹，使用陣列進行儲存，從$a[1]$開始儲存，這樣對於下標為$k$的結點$a[k]$來說，其左孩子的下標為$2*k$，右孩子的下標為$2*k+1$。，且不論 $k$ 是奇數還是偶數，其父親結點（如果有的話）就是 $\left \lfloor k/2 \right \rfloor $。

假如我們向乙個堆中插入乙個元素，要使其仍然保持堆的結構。應該怎麼辦呢？

可以把想要新增的元素放在陣列的最後，也就是完全二叉樹的最後乙個結點的後面，然後進行向上調整（heapinsert）。向上調整總是把欲調整結點與父親結點比較，如果權值比父親結點大，那麼就交換其與父親結點，反覆比較，直到到達堆頂或父親結點的值較大為止。向上調整示意圖如下：

**如下，時間複雜度為$o(logn)$：

void heapinsert(int* arr, int n) 
}

這樣新增元素就很簡單了

void insert(int* arr, int n, int x)

假如我們要刪除乙個堆中的堆頂元素，要使其仍然保持堆的結構。應該怎麼辦呢？

移除堆頂元素後，將最後乙個元素移動到堆頂，然後對這個元素進行向下調整（heapify），向下調整總是把欲調整結點 $k$ 與其左右孩子結點比較，如果孩子中存在權值比當前結點 $k$ 大的，那麼就將其中權值最大的那個孩子結點與結點 $k$，反覆比較，直到到結點 $k$ 為葉子結點或結點 $k$ 的值比孩子結點都大為止。向下調整示意圖如下：

**如下，時間複雜度也是$o(logn)$：

void heapify(int* arr, int k, int n) 
}

這樣刪除堆頂元素也就變得很簡單了

void deletetop(int* arr, int n)

自頂向下建堆的思想是，從第 $i=1$ 個元素開始，對其進行向上調整，始終使前 $i$ 個元素保持堆的結構。時間複雜度 $o(nlogn)$

void arraytoheap(int *a,int n) 
}

自底向上建堆的思想是，從底 $i=\left \lfloor n/2 \right \rfloor $ 個元素開始，對其進行向下調整，始終讓後 $n-i$ 個元素保持堆的結構。

void arraytobheap(int *a, int n) 
}

如果僅從**上直觀觀察，會得出構造二叉堆的時間複雜度為$o(nlogn)$的結果。當然這個上界是正確的，但卻不是漸近界，可以觀察到，不同結點在執行heapify的時間與該結點的樹高（樹高是指該結點到最底層葉子結點的值，不要和深度搞混了）相關，而且大部分結點的高度都很小。利用以下性質可以得到乙個更準確的漸近界：

【可以畫顆樹試一下，具體證明請看演算法導論】

在乙個高度為 $h$ 的結點上執行heapify的代價為 $o(h)$，我們可以將自頂向下建堆的總複雜度表示為

\[ \sum ^_ \lceil \frac } \rceil o(h)= o(n\sum ^ _\frac }) \]

這個式子

\[ \sum ^ _\frac } \]

其實就是求前 $n$ 項和，高中數學的知識

\[ t(k)=\frac+\frac+\frac+\cdots+\frac\\\fract(k)=\frac+\frac+\frac+\cdots+\frac+\frac\\t(k)-\fract(k)=\frac+\frac+\frac+\cdots+\frac-\frac}\\\fract(k)=\frac(1-(\frac)^k)}}-\frac}\\t(k)=2-\frac}-\frac} \]

到這兒就需要求極限，高等數學的知識 $\frac}$ 當 $k$ 趨於無窮大時極限是 $0$，對 $\frac}$ 用洛必達法則極限也是 $0$

也就是說當 $h$ 趨向於無窮大時，$o(n\sum ^ _\frac })=o(n\cdot 2)$ ，去掉常數項，所以自底向上建堆複雜度為 $o(n)$

堆排序的思想：假設乙個大根堆有 $n$ 個元素，每次把第 $1$ 個元素，與第 $n$ 個元素交換，對第乙個元素進行向下調整（heapify），並使得 $n=n-1$ ，直到 $n=1$

void heapsort(int* arr, int n) 
for (int i = 50; i > 1; i--) 
}

首先用陣列的前k個元素構建乙個小根堆，然後遍歷剩餘陣列和堆頂比較，如果當前元素大於堆頂，則把當前元素放在堆頂位置，並調整堆（heapify）。遍歷結束後，堆頂就是陣列的最大k個元素中的最小值，也就是第k大元素。

void heapify(int* a, int index, int length) 
}void arraytobheap(int* a, int length) 
}void findkmax(int* a, int k, int length) 
}

時間複雜度$o(n)$，只是舉個例子。

事實上對於這個問題是有更快的做法的，快速排序的思想，時間複雜度 $o(logn)$

int search_k(int left, int right, int k) 
swap(a[i], a[left]);
if (i - left + 1 == k)return a[i];
if (i - left + 1 < k)return search_k(i + 1, right, k - (i - left + 1));
else return search_k(left, i - 1, k);
}

堆更多時候，因為它建堆$o(n)$，調整$o(logn)$，當需要有序得到某些資料，是要優於排序（$o(nlogn)$）演算法的，而且如果資料規模是動態增加的，那堆就要完全優於排序演算法了，在c++的stl是有堆的實現的，叫做priority_queue。

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