補碼原理負數為什麼要用補碼表示

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我們都知道負數在計算機中是以補碼（忘了補碼定義的戳這裡）表示的，那為什麼呢？本文嘗試了解補碼的原理，而要想理解它，首先得理解算術中「模」的概念。所以首先看一下什麼是模，然後通過乙個小例子來理解補碼。

1.1 什麼是模數

in mathematics, modular arithmetic is a system of arithmetic for integers, where numbers 「wrap around」 upon reaching a certain value—the modulus (plural moduli).

1.1.1 理解

模是指乙個計量系統的計數範圍。如時鐘等。計算機也是乙個計算器，它也是有乙個計量範圍，即都存在乙個「模」。

如時鐘的計量範圍是0~11，模 = 12。

32位計算機的計量範圍是2^32，模 = 2^32。

「模」是計量器產生「溢位」的量，它的值在計量器上表示不出來，計量器上只能表示出模的餘數，如12的餘數有0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11。

1.2 補數

假設當前時針指向11點，而準確時間是8點，調整時間可有以下兩種撥法：

在以模為12的系統中，加9和減3效果是一樣的，因此凡是減3運算，都可以用加9來代替。對「模」12而言，9和3互為補數（二者相加等於模）。所以我們可以得出乙個結論，即在有模的計量系統中，減乙個數等於加上它的補數，從而實現將減法運算轉化為加法運算的目的。

1.3 再談「模」

從上面的化減法為加法，以及所謂的溢位等等可以看到，「模」可以說就是乙個太極，陰陽轉化，周而復始，無始無終，迴圈往復。

計算機上的補碼就是算術裡的補數。

設我們有乙個4位的計算機，則其計量範圍即模是

2^4 = 16，所以其能夠表示的範圍是0~15，現在以計算5 - 3為例，我們知道在計算機中，加法器實現最簡單，所以很多運算最終都要轉為加法運算，因此5-3就要轉化為加法：

# 按以上理論，減乙個數等於加上它的補數，所以 5 - 3 # 等價於 5 + (16 - 3) // 算術運算單元將減法轉化為加法 # 用二進位制表示則為： 0101 + (10000 - 0011) # 等價於 0101 + ((1 + 1111) - 0011) # 等價於 0101 + (1 + (1111 - 0011)) # 等價於 0101 + (1 + 1100) // 括號內是3（0011）的反碼+1，正是補碼的定義 # 等價於 0101 + 1101 # 所以從這裡可以得到 -3 = 1101 # 即 `-3` 在計算機中的二進位制表示為 `1101`，正是「 -3 的正值 3（`0011`）的補碼（`1101`）」。 # 最後一步 0101 + 1101 等於

10010因為我們的計算機是4位的，第一位「溢位」了，所以我們只儲存了4位，即0010，而當計算機去讀取時這正是我們所期望的2！！嘆為觀止吧，天才般的設計！感恩伏羲、萊布尼茲和馮諾依曼！

一陰一陽之謂道。萬事萬物，陰陽轉化，周而復始，無始無終，迴圈往復。

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