瘋子的演算法總結14 ST演算法（區間最值）

借助倍增和動態規劃可以實現o（1）的時間複雜度的查詢

預處理：

①區間dp   轉移方程  f[i][j] = min(max同理)(f[i][j - 1],f[i + ][j - 1])  f[i][j]表示從i位置開始的後2^j個數中的最大值

用f[i][j]表示從j到j+2^i-1的最小值（長度顯然為2^i）。

任意一段的最小值顯然等於min（前半段最小值，後半段最小值）。

那麼f[i][j]如何用其他狀態來繼承呢？

j到j+2^i-1的長度為2^i，那麼一半的長度就等於2^(i-1)。

那麼前半段的狀態表示為f[i-1][j]。

後半段的長度也為2^(i-1)，起始位置為j+2^(i-1)。

那麼後半段的狀態表示為f[i-1][j+2^(i-1)]。

②不過區間在增加時，每次並不是增加乙個長度，而是基於倍增思想，用二進位制右移，每次增加2^i個長度 ，最多增加logn次

這樣預處理了所有2的冪次的小區間的最值

關於倍增法鏈結

查詢：

③對於每個區間，分成兩段長度為的區間，再取個最值（這裡的兩個區間是可以有交集的，因為重複區間並不影響最值)

比如3,4,6,5,3一種分成3,4,6和6,5,3，另一種分成3,4,6和5,3，最大值都是6，沒影響。

首先明確 2^log(a)>a/2

這個很簡單，因為log(a)表示小於等於a的2的最大幾次方。比如說log(4)=2,log(5)=2,log(6)=2,log(7)=2,log(8)=3,log(9)=3…….

那麼我們要查詢x到y的最小值。設len=y-x+1,t=log(len),根據上面的定理：2^t>len/2,從位置上來說，x+2^t越過了x到y的中間！

因為位置過了一半,所以x到y的最小值可以表示為min(從x往後2^t的最小值，從y往前2^t的最小值),前面的狀態表示為f[t][x]

設後面（從y往前2^t的最小值）的初始位置是k，那麼k+2^t-1=y，所以k=y-2^t+1,所以後面的狀態表示為f[t][y-2^t+1]

所以x到y的最小值表示為f(f[t][x],f[t][y-2^t+1])，所以查詢時間複雜度是o（1）

④所以o(nlogn)預處理，o(1)查詢最值  但不支援修改

預處理時間複雜度o（nlogn），查詢時間o（1）。

#include#include#include#includeusing namespace std;

int map[1000005][20];
int n,k;
void work()
int question(int z,int y)
int main()
return 0;
}

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