演算法速成 樹狀陣列

此為演算法速成blog，因此會略去一些推導細節。

樹狀陣列是乙個**查詢和插入時間複雜度都在o(logn)**的資料結構。

主要用於查詢區間和或者前n項和，但**每次只能修改乙個元素的值。**經過簡單修改可以在log(n)的複雜度下進行範圍修改，但是這時只能查詢其中乙個元素的值(如果加入多個輔助陣列則可以實現區間修改與區間查詢)。

來觀察這個圖：

令這棵樹的結點編號為c1，c2…cn. ci的值為子樹葉子結點的權值總和，那麼容易發現：

c1 = a1

c2 = a1 + a2

c3 = a3

c4 = a1 + a2 + a3 + a4

c5 = a5

c6 = a5 + a6

c7 = a7

c8 = a1 + a2 + a3 + a4 + a5 + a6 + a7 + a8

…

答案是，這樣會使操作更簡單！看到這相信有些人就有些感覺了，為什麼複雜度被log了呢？可以看到，c8可以看作a1～a8的左半邊和+右半邊和，而其中左半邊和是確定的c4，右半邊其實也是同樣的規則把a5～a8一分為二……繼續下去都是一分為二直到不能分樹狀陣列巧妙地利用了二分，樹狀陣列並不神秘，關鍵是巧妙！

這裡給出一條公式: c[i]=a[i-2k+1]+a[i-2k+2]+…a[i] k為i二進位制位的末尾0長度, i >= 1。

這個公式什麼意思呢？它其實是說明了c[i]的管轄範圍在[i-2k+1 , i ]。

比如說，i = 8，二進位制為1000，k = 3，2k= 8，那麼c[8]就是a[1]…a[8]的權值總和。

i = 7，二進位制為111，k = 0, 2k = 0，那麼c[7]就是a[7].

下面給出計算2k的方法。

int

lowbit
(int x)

有了上面的函式，我們的公式可以改寫成c[i] = a[i-lowbit(i)+1] + a[i-lowbit(i)+2] +…+a[i];

也就是c[i]的管轄範圍在[ i-lowbit(i)-1, i ].

ok，現在你已經知道c[i]怎麼算了。那麼回到應用，如何利用c[i]計算區間和或者前n項和呢？下面先給出**。

int

sum(
int k)
//前k個數的和 
return ans;
}

i = 6，lowbit = 2；i = 4，lowbit = 4；

因此可以發現，傳進去的引數k表示從1到k的整個區域，lowbit(i)表示c[i]的管轄範圍，實際上是將一段段的c全部加起來。

那麼如何求區間和呢？下面直接上**。

int

ask(
int l,
int r)
//求l ~ r區間和 

那麼當改變乙個a[i]的值之後，怎麼更新c[i]呢？

void

change
(int x,
int p)
//將第x個數加p 
return
;}

總**：

#include

#define max 10010
using namespace std;
int t[max]
, a[max]
;int n;
intlowbit
(int x)
//求c管轄範圍 2^k 
intsum
(int k)
//前k個數的和 
return ans;
}int
ask(
int l,
int r)
//求l ~ r區間和 
void
change
(int x,
int p)
//將第x個數加p 
return;}
intmain()
int l ,r;
while
(cin>>l>>r)
return0;
}

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