POJ2279 五維線性dp

題面

poj2279題面

思路

從頭開始系統的學dp，做題目一定要理清dp的五大因素

狀態表示

用dp[a1,

a2,a

3,a4

5a_1,a_2,a_3,a_4,a_5

a1,a2

,a3

,a4

,a5

]表示第i行上已經插入了a

ia_i

ai個人的排隊方法數

階段劃分

已經在各排分配了制定人數的方法數(對應乙個五元組)

轉移方程

寫不下了^ _ ^下面單列

邊界dp[0,0,0,0,0]=1,其餘均為0

目標dp[k1,

k2,k

3,k4

5k_1,k_2,k_3,k_4,k_5

k1,k2

,k3

,k4

,k5

]轉移方程及其理解：

d p[

a1,a

2,a3

,a4,

a5]=

dp[a_1,a_2,a_3,a_4,a_5]+dp[a_1-1,a_2,a_3,a_4,a_5] (a_1\geq 1 \space and \space a_1\leq k_1)\\ dp[a_1,a_2,a_3,a_4,a_5]+dp[a_1,a_2-1,a_3,a_4,a_5] (1 \leq a_2\leq a_1 \space and \space a_2\leq k_2)\\ \vdots \\ dp[a_1,a_2,a_3,a_4,a_5]+dp[a_1,a_2,a_3,a_4,a_5-1] (1 \leq a_5\leq a_4 \space and \space a_5\leq k_5) \end

dp[a1

,a2

,a3

,a4

,a5

]=⎩⎪

⎪⎪⎪⎨

⎪⎪⎪⎪

⎧dp

[a1

,a2

,a3

,a4

,a5

]+dp

[a1

−1,a

2,a

3,a

4,a

5](

a1≥

1and

a1≤

k1)

dp[a

1,a

2,a

3,a

4,a

5]+

dp[a

1,a

2−1

,a3

,a4

,a5

](1≤

a2≤

a1a

nda2

≤k2

)⋮d

p[a1

,a2

,a3

,a4

,a5

]+d

p[a1

,a2

,a3

,a4

,a5

−1]

(1≤a

5≤a

4an

da5

≤k5

)其實狀態的尋找是不好做的，對於最終目標，如何找出表示目標的維度，如何分解問題，使其在求解每個子問題的"階段"都具有"子問題重疊性"，「無後效性"和"最優子結構性質」。

性質解釋

子問題重疊性

問題可劃分成多個子問題，並且子問題具有相似性，可以歸納

無後效性

已經求解的子問題不受後續階段的影響

最優子結構性質

下一階段的最優解能夠由前面各階段的子問題的最優解匯出

這三個性質是判斷尋找的狀態是否具有動態規劃條件的性質。

能想到的是，對於乙個人的狀態肯定可以計算，用乙個人算兩個人的狀態也可以算，而後面的狀態加乙個人好像也可以算，仔細想一下，如果自己打個表的話，可以從1開始人數乙個乙個向上推(其實就是動態規劃的模擬),想到這種模擬，基本上三個性質都具備了(請讀者自行思考)，如果想到人數為維度的話，為了能夠表示每一排的情況，容易想到用五元組表示狀態的方法。

對於初態，如果五個空都沒有乙個人的話，肯定預設只有一種排法，所以dp[0,0,0,0,0]=1，對於剛剛所謂的乙個人乙個人地向上推，其實就是對於當前狀態對於五元組每乙個元討論少乙個人的情況，假設我們插人是從低到高插入的，那個人排在哪一排反正是從低到高排肯定在是固定的在排首的，其實就是其他人的站位影響了照相順序，也就是加上其他人站位的方法數即可(就是+dp

[a1,

a2−1

,a3,

a4,a

+dp[a_1,a_2-1,a_3,a_4,a_5]

+dp[a1

,a2

−1,

a3,

a4,

a5]

這類的原因 )，但是這保證了每一排是從低到高，但要保證每一列從低到高，那就要當第i-1排比i排少人的時候，就不能排在第i排，因為下面總有乙個更高的要插在i-1排，就不是從低到高了，同時還要滿足插人不多於給出的限制，那就是(1≤

ai≤a

i−1a

ndai

≤ki)

(1 \leq a_i\leq a_i-1 \space and \space a_i\leq k_i)

(1≤ai

≤ai

−1an

dai

≤ki

)了唄注意事項

1)dp一般0陣列的0軸是初態，所以一般迴圈要<=限制，答案訪問上界而不是上界-1

2)要注意陣列(無向圖)的遍歷的範圍，不要少了也不要越界

3)函式內部按大小直接宣告dp陣列，否則會mle(c++14以上的編譯器陣列可以直接用變數宣告)

//這個是按照上面的轉移方程寫的，是在此狀態訪問上一次狀態的情況
#include #include using namespace std;
typedef long long ll;
const int maxn = 31;
int nk[6];
int main()
ll dp[nk[0]+1][nk[1]+1][nk[2]+1][nk[3]+1][nk[4]+1];
memset(dp,0,sizeof(dp));
dp[0][0][0][0][0] = 1;
for(int i = 0;i <= nk[0];i++)}}
}}
cout << dp[nk[0]][nk[1]][nk[2]][nk[3]][nk[4]]=1了，
//需要在i ==k[1]的時候阻止其進一步向下求，也就是要有(i < n[1])的判斷
#include #include #include typedef long long ll;
using namespace std;
int n[6], k;
void work() 
cout << f[n[1]][n[2]][n[3]][n[4]][n[5]] << endl;
}int main()

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