回溯演算法思想與八皇后問題解的個數

原文及更詳細的解釋參見作者部落格：

在8*8的西洋棋棋盤上，皇后是威力較大的棋子，它可以攻擊到與自己同行、同列以及同一斜線上的棋子，如下圖，所有橙色格仔上的棋子，都可能會被皇后攻擊：

而八皇后問題就是在8*8的棋盤上，找到合適的位置放置8個皇后，讓它們不會相互攻擊，而且需要找出這樣的放法共有多少種。

回溯法就是當我們確定了乙個問題的解空間的結構後，從根節點出發，以深度優先的方式去遍歷解空間，找到合適的解。所以用此方法分析八皇后問題如下：

將棋盤看作0-7的平面直角座標系，八皇后問題的解就是尋找八個點的座標（i,j）。先拋開具體問題的約束來看，我們要尋找的第乙個座標有64中可能，當第乙個座標確定後，第二個座標也有64中可能，第三個同樣如此......因此，所有可能的解形成了乙個64叉樹（模擬二叉樹的說法），這就是有可能的解（64^8種可能），解空間結構是64叉樹形狀的。

基於此解空間的結構，才能以深度優先的方式去遍歷解空間，並尋找合適的解。

當我們結合問題對解的約束來看，八皇后問題的解就是這個64叉樹上某些從根節點到葉子節點的路徑上的座標。具體約束就是皇后的攻擊規則（任意兩點不能在同一直線或斜線上）。

也就是將皇后乙個個擺上去，當我們擺到第n個皇后時，若發現按照約束條件，任何位置都不能擺放，那就說明第n-1個皇后在當前位置不能得到正確的解，所以需要重新確定第n-1個皇后的位置。若第n-1個皇后再無其他位置可擺放，則需要重新確定第n-2個皇后的位置......

這就是回溯遍歷解空間，在演算法實現時，可以使用遞迴或迭代進行回溯遍歷，分別被稱為遞迴回溯和迭代回溯。

演算法使用名為queen的二維int陣列表示棋盤，陣列的索引表示0-7的座標，值為0表示空白，值為1表示皇后的擺放位置。

由於任意一行不能有兩個皇后，所以每一行必須擺放乙個，因此程式在每一行依次嘗試：

package com.yawn.queen;
/** * @author yawn
*/public class queentest 
printqueen("結果為");
}/**
* 第i行的放置
*/private static void place(int i, int start) 
}if (!placed) 
}/// 以下為工具方法，內容單一，淺顯易懂
/*** 輸出棋盤
*/private static void printqueen(string action) 
system.out.println();}}
/*** 尋找第i行放置皇后的位置
*/private static int seek(int i) 
}return -1;
}/**
* 檢查queen[i][j] 是否可以放置皇后
*/private static boolean check(int i, int j) }}
return true;
}}

求解過程中的輸出片段如下：

---> 第 5 行放置 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ---> 回溯到第 5 行，從 3 開始 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ---> 第 5 行放置 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0

我們可以看出：第5行放置在了（5，2）位置，然後嘗試放置第六行，結果第6行無法放置，所以回溯到第5行，從（5，3）位置繼續嘗試放置，並在（5，3）放置成功。

以上**為我們找到了問題的乙個解，但我們想知道一共有多少解存在，這就需要我們稍微修改**，具體如下：

在以上**中，若找到乙個可行的解之後，程式就會執行結束。但我們若要找到所有的解，就需要在找到可行解後，繼續讓程式嘗試下乙個解即可。具體做法就是當最後一行都可以放置好皇后時，我們只記錄這個解，然後再讓程式嘗試當前位置的下乙個位置，而不退出程式。

當遍歷完所有可能的解之後，就可以停止程式。由於在遞迴呼叫過程中，會產生很深的方法棧，導致棧滿報錯，所以棋盤不宜設定太大：

八皇后問題解的個數具體實現如下：

package com.yawn.queen;
/** * @author yawn
*/public class queentest2 
}/**
* 第i行的放置
*/private static void place(int i, int start) 
// 第i行是否放置成功
boolean rowplaced = false;
// 遍歷第i行每個位置是否可以放置皇后
for(int j = start; j < size; j++) 
break;}}
// 如果第i行沒有放置成功，則回溯到第i-1行（重新放置第i-1行）
if (!rowplaced) 
}/// 以下為工具方法，內容單一，淺顯易懂
/*** 輸出棋盤
*/private static void printqueen(string string) 
system.out.println();}}
/*** 去掉(i,j)位置已經放置的皇后
*/private static void reset(int i, int j) 
/*** 尋找第i行放置皇后的位置
*/private static int seek(int i) 
}return -1;
}/**
* 檢查queen[i][j] 是否可以放置皇后
*/private static boolean check(int i, int j) }}
}return true;
}}

---> 第91個結果，從(7,4)繼續回溯尋找... 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 ---> 第92個結果，從(7,5)繼續回溯尋找... 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0

結果集已經遍歷完畢，共找到結果數為：92

最終棋盤規格為8*8時，共有92個解。

回溯演算法思想與八皇后問題解的個數

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回溯演算法與八皇后問題

八皇后問題（回溯演算法）

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