分治法合併排序

排序演算法是對一組數進行順序排序或者逆序排序，而合併排序就是排序演算法的一種。合併排序用到了分治策略實現對元素進行排序。

合併排序的基本思想：把待排序的n個元素分解成n組，也就是每組乙個元素；之後對分好的組進行兩兩合併（無配對的則不操作），以此類推。

以序列為例，排序過程如下：

**合併排序又叫做2-路歸併排序，是因為它每次都是兩兩歸併。

/**
* 合併src[left:mid] src[mid+1:right] 到dest[left:right]
* @param src: 源陣列
* @param dest: 目的陣列
* @param left: 陣列起始索引
* @param mid: 源陣列的中間索引
* @param right: 目的陣列的結束索引
*/templatevoid merge(type src, type dest, int left, int mid, int right) 
//把剩下的陣列元素拷貝到目的陣列
if (i > mid)
for (int q = j; q <= right; q++)
dest[k++] = src[q];
else
for (int q = i; q <= mid; q++)
dest[k++] = src[q];
}

merge函式用於把src[left:mid] 和src[mid + 1: right]歸併到dest的對應位置。其思路如下

設定兩個索引變數i和j儲存當前指向的src[left:mid] 和src[mid + 1: right]的索引；

每次從i 和j 所指向的src[i] src[j]中取乙個小值依次放到dest的對應位置，然後這個索引加一；

重複2步驟直至遍歷完短陣列；

把剩餘的值拼接到dest陣列中。

/**
* src[left:right]複製到dest[left:right]
* @param src: 源陣列
* @param dest: 目的陣列
* @param left: 起始索引
* @param right: 結束索引
*/templatevoid copy(type src, type dest, int left, int right) 
}

copy的作用就是陣列複製。

/**
* 用於合併排序好的相鄰陣列段
*/templatevoid mergepass(type x, type y, int step, int n) 
if (i + step < n)
merge(x, y, i, i + step - 1, n - 1);
else
for (int j = i; j < n ; j++)
y[j] = x[j];
}

mergepass函式主要用於合併排序好的相鄰陣列，

當step為1,時，此時陣列被分成了n份，mergepass的while就是把上面的單個元素兩兩合併；

當step為2,時，則對最多為2個元素的子陣列進行兩兩合併。

以此類推

在之後還有乙個判斷：i + step < n，這裡舉例子來說明：

比如此時進行到了第二次歸併，即step = 2, 元素如下：
x =  ,  
i = 0時，合併的是x[0: 1]和x[2:3],之後i = 0 + 2 * 2 = 4；
i = 4,時，得到i <= 7 - 2 * 2 = 3 不成立，所以不再迴圈。
雖然迴圈不成立，但是可以看到， 還是滿足i + step < n的，所以這裡又加了最後乙個歸併。
而當x =   ，step=2的情況下則會直接進行複製。

從上面的舉例可以看出，賦予step遞增的值，則可以實現歸併排序。

templatevoid mergesort(type a, int n) 
delete temp;
}

在mergesort函式中，呼叫mergepass來實現歸併操作。

接著測試一下：

int main() ;
int len = sizeof(a) / sizeof(a[0]);
//合併排序
mergesort(a, len);
for (int i = 0; i < len; i++)
cout << a[i] << " ";
cout << endl;
return 0;
}

自然合併排序是上述所說的合併排序演算法的乙個變形。之前說過，合併排序是從乙個元素開始兩兩歸併的，而當乙個組內只有乙個元素時，能夠保證它是排序好的。基於上面的原理，給定乙個陣列，一般都會存在多個長度大於1的已自然排好序的子陣列段。比如對於乙個陣列。自然排序的子陣列段為；第一次排序可以得到；第二次排序得到；第三次排序則可以得到遞增序列。

上面需要解決的問題就是如何儲存每次的子陣列段的開始和結束，因為子陣列段的大小不是固定的，所以還需要乙個陣列去維護子陣列的邊界。

templatevoid mergesort(type a, int len) 
//回寫到陣列a
for (int i = 0; i < len; i++)
a[i] = temp[i];
number = get_order(a, len, indices);
}	delete temp;
}

新的mergesort函式用到了子陣列段，其中維護了indices陣列來儲存邊界，

首先可以看到indices的大小為len + 1,這是最壞情況下的indices的最大值，當陣列完全逆序的時候，比如要把排序成時，我們可以一眼看出只需要完全翻轉就可以了，不過程式則不知道，按照之前的步驟來說，以上分成了共5個，再加上一開始的-1，所以最大陣列長度設為了len + 1。

第乙個元素為-1，主要是為了應對之後的排序。以為例子。自然排序的子陣列段為；那麼indices的值為。那麼需要a[-1 + 1: 1]和a[1 + 1, 4]進行歸併，a[4 +１: 5]和a[5 + 1:6]歸併...

每一次的迴圈都會重新獲取排序好的子陣列段（其實可以從之前得到的）。

/**
* 獲取陣列a的自然排好序的子陣列段，返回結束索引
* @param a: 陣列
* @param len: 陣列a的長度
* @param indices: 排序好的結束索引陣列 需要確保長度足夠
* @return: 返回indices真正的長度
*/templateint get_order(type a, int len, vector& indices) 
index++;
}	indices[i++] = len - 1;
return i;
}

根據mergesort和get_order而得到的indices陣列來說，必定存在的就是-1和最後乙個元素的索引，所以當indices的實際個數為2的時候，表示排序結束。

本測試在leetcode上執行，題目為：排序陣列

普通歸併排序執行：

自然歸併排序執行：

可以看到，自然歸併排序的執行用時要小於普通歸併排序，不過記憶體消耗略微增加。

分治法合併排序

分治法合併排序

分治法合併排序（C ）

基礎演算法合併排序（分治法）

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