【演算法導論】最大子陣列問題的三種解法
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首先補充兩個數學公式：
a lo
gbc=
clog
baa^ = c^
alogb
c=cl
ogbalo
g(n!
)=θ(
nlog
n)log(n!) = \theta(nlogn)
log(n!
)=θ(
nlog
n)什麼是最大子陣列問題？
給定一陣列a, 尋找a中和最大的非空連續子陣列。
例如：輸入: a = [-2,1,-3,4,-1,2,1,-5,4],
輸出: 6
解釋: 連續子陣列 [4,-1,2,1] 的和最大為 6。
針對該問題，現給出三種解法。
解法一：暴力求解（最直觀的方法）
對於長度為 n 的陣列a, 任選兩個位置作為區間起始和末尾，計算該區間所代表的的子陣列的和，選擇最大的乙個。
符合條件的位置對數有cn2
c_n^2
cn2
個，因此時間複雜度為o(n
2)o(n^2)
o(n2).
由於計算區間和時需要借助乙個輔助陣列，因此空間複雜度為o(n
)o(n)
o(n)
**：
int find_max_subarray( vector& a)假設將陣列a[low, …, high] 以位置mid處劃分為兩個長度大致相等的子陣列，則最大子陣列a[i, …, j] 必定為以下三種情況之一：
最大子陣列完全位於 a[low, …, mid] 之間，即 low
≤i≤j
≤mid
low \le i \le j \le mid
low≤i≤
j≤mi
d.最大子陣列完全位於 a[mid, …, high] 之間，即 mid
≤i≤j
≤hig
hmid \le i \le j \le high
mid≤i≤
j≤hi
gh.最大子陣列跨越了 mid 位置，即 low
≤i≤m
idhigh
low \le i \le mid < j \le high
low≤i≤mid
high
. **：
int find_max_subarray( vector& a, int left, int right)for( int i = mid + 1; i <= right; i++)
return max( max( l, r), sum_max);
}// 在主程式中輸入的引數應該為 find_max_subarray(a, 0, a.size() - 1)測試用例：
注：改**已ac leetcode 第53題。
時間複雜度為：o(n
logn
)o(nlogn)
o(nlog
n)解法三：動態規劃（不易理解但短小精悍）
初始化變數 sum = 0, 從頭遍歷陣列，對於每乙個元素 a[i], 變數 sum += a[i], 一旦 sum < 0, 立即讓 sum = 0, 並向後移動乙個元素，直到陣列尾部。最終選擇最大的 sum 值。
為直觀起見，以陣列 a = [-2, 3, -1, 2, -3] 為例：
}測試用例：
注：改**已ac leetcode 第53題。
由於只是遍歷陣列，因此時間複雜度為 o(n
演算法導論之三最大子陣列問題
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