首先來解釋一下，為什麼要寫這篇部落格。其實，csdn上已經能夠搜尋到很多nim博弈的論述。大部分文章關注點都只是定義和方法，偶有附帶**的。下面這個鏈結包含了關鍵數學環節，但是整篇的論述邏輯層次並不清晰，給出了過多的定理。
本文的目的則是給出簡潔有效的nim博弈的結論證明。
1.概述
1.1 尼姆博弈定義
有n堆物品，每堆數量已知。甲乙雙方輪流取物，甲先取。每次只能從其中某一堆取物件，至少取乙個，取走最後乙個物品的是勝利者。請問甲或者乙是否存在必勝策略。
1.2 基本結論
設n堆物品的數量分別為a
1, a
2,…a
n,定義 sg ()=a
1 xor a
2 xor … xor a
n，其中xor 表示二進位制按位異或。如果sg=0,則定義當前狀態為n-position,反之，如果sg≠0，則定義當前狀態為p-position。特別的，當a
i全為0，按照定義為n態，此時取物品的玩家沒有物品可取，則認為最後乙個物品被上乙個玩家取走，認定為失敗。
結論：若初始狀態為n-position，則乙必勝；若初始狀態為p-position，則甲必勝。
下面證明該結論。
2. 數學證明
若對所有的i∈,有a
i≤1，則稱目標堆集為孤堆狀態。首先對於非孤堆態，我們證明下面的2.1和2.2成立。
2.1 單次操作, p-position->n-position 方法必然存在
把sg表示成二進位制，記它的二進位制數的最高位為第p位，則必然存在乙個a
t,它二進位制的第p位也是1。（否則，若所有的a
i的第p位都是0，則sg的第p位也必為0）。
令x =a
t xor sg, 則x的p 位是0，且x的高位與a
t 相同，所以有x t
用x取代a
t,則這步操作後的sg， sg
new=a
1 xor a
2 xor … xor a
t xor sg xor a
t+1 xor … xor a
n =sg xor sg=0.
即對於p-position,可以通過一次操作使得整體狀態從p-position變成n-position。
2.2 單次操作, n-position必然變為p-position
用反證法，假如某次n-position操作完後依然是n-position，即sg=sg
new=0。設被操作的是a
k,操作的結果是a
』k.即
sg=a
1 xor a
2 xor … xor a
k xor a
t+1 xor … xor a
n=0 sg
new=a
1 xor a
2 xor … xor a
』k xor a
k+1 xor … xor a
n=0於是0=sg xor sg
new=a
k xor a 』k
根據異或運算特點，當且僅當a
k=a』k時，上式成立。
2.3 孤堆狀態
對於孤堆狀態，每次會取走一整堆。
當初始堆數是奇數時，甲勝，當初始堆數是偶數時，乙勝。
顯然，當堆數是奇數時，sg≠0，當堆數是偶數時，sg=0.
這說明對於孤堆狀態，1.2中結論成立。
2.4 完整策略
a.對於非孤堆狀態，若初始狀態為p-position,根據2.1，甲可以通過一次操作使狀態變為n-position；根據2.2，之後乙的操作必然使目標堆集狀態進入p-position.這樣經過甲乙各一次的操作，目標堆集依然是p-position,且總體數量減少。則經過有限次的甲乙均等次數操作，目標堆集數量不斷減少，最後必然出現兩種情形之一：一種情形是，目標堆集只有一堆為非空堆，這顯然是p-position；另外一種情形是，目標堆集為孤堆狀態，且保持p-position。第一種情形，甲一次取完即可勝出；第二種情形，由2.3，甲必勝。
b.對於非孤堆情形，若初始狀態為n-position，根據2.2，甲的第一次操作會使得目標堆集合進入p-position.根據2.1，乙可以通過一次操作使得目標集再次n-position.則經過有限次的甲乙均等次數操作，目標堆集數量不斷減少，最後必然以n-position進入孤堆狀態。根據2.3,乙必勝。
結合2.3和2.4，1.2中的結論得證。
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