快樂找到區間第K大劃分樹

劃分樹，顧名思義就是將乙個序列，劃分成很多小部分。其作用就是可以快樂地找到給定區間第k大的數。其實使用歸併樹和快排也都可以找到區間內第k大的數，但其效率都不如劃分樹要好，快排過的時間複雜度o（n x m），而劃分樹是o（n x logn）。

劃分樹原理：1.建樹：根結點就是原序列，左孩子儲存父結點所有元素排序後的一半，右孩子也存一半，也就是說排名1 -> mid的存在左邊，排名(mid+1) -> r 的存在右邊，同一結點上每個元素保持原序列中相對的順序，藍色數字表示其是在左子樹中的，最後通過遞迴左右子樹建立整棵樹,同時在建樹的過程中記錄乙個輔助陣列num[i]，其意義是從 l 到 i 其中小於中間值的元素個數。

（來自hchlqlz部落格）

圖示：

2.查詢：對於在區間[l,r]中的第k大的詢問，先比較num[r]- num[l-1]（在區間[l,r]中在左子樹中的元素個數）和k的值。

如果num[r]- num[l-1] >= k（左子樹中的個數大於k）[l,r]中的第k大的數字在左子樹，到左子樹中去找。

否則第k大的元素就在右子樹。此處要注意遞迴到左右子樹時，l，r，k值的下一狀態。

舉個栗子：

比如要查詢2 到6 之間第3 大的數，那麼先判斷2 到6 之間有多少元素進入左子樹，（在此忽略細節）num[6]-num[2-1]=2，就說明2 到6 有兩個數進入左子樹，又因為我們要找的是第3 大的數，所以一定在右子樹中

劃分樹步驟:

1.建樹

可以發現，劃分樹的每一層結點都是n個，所以採用乙個tree[max][max]的二維陣列來儲存整棵樹，同樣num陣列也採用同樣的方式儲存。

a.將原陣列sort後,存在乙個陣列sorted中,在每個區間中找到區間中間值mid（偏左）

b.掃瞄原陣列在區間[l,r]的部分，將l到r中的小於等於mid的陣列個數記錄下來在num陣列中

c.將小於等於mid的樹放到左子樹，將大於mid的放到右子樹

d.向左、右子樹開始遞迴建樹遞迴基：r == l 時，返回

2.查詢區間[l,r]中第k大的元素

if(k > num[r]-num[l-1]) 進入右子樹

if(k <= num[r]-num[l-1]) 進入左子樹

下面以poj 2014為例給出**

題意：給出n個數，進行m詢問，每次詢問給出l，r，k 找出區間[l,r]的第k大的數。

**：

/*
1.建樹
a.將原陣列sort後,存在乙個陣列sorted中,在每個區間中找到區間中間值mid
b.掃瞄原陣列在區間[l,r]的部分，將l到r中的小於等於mid的陣列個數記錄下來在num陣列中
c.將小於等於mid的樹放到左子樹，將大於mid的放到右子樹
d.向左、右子樹開始遞迴建樹
遞迴基：r == l 時，返回
2.查詢區間[l,r]中第k大的元素
判斷num[r]-num[l-1]與k值的大小
a.if(k > num[r]-num[l-1]) 進入左子樹
if(k <= num[r]-num[l-1]) 進入右子樹
tip:1.注意查詢遞迴轉移的s,e,l,r的引數更新變化
2.注意每次區間中num陣列的要初始化
*/#include
#include
#include
#include
using
namespace std;
const
int max =
100010
;int n,m,mid_sort,last,ans=0;
int a[max]
,sorted[max]
;int tree[20]
[max]
,num[20]
[max]=;
void
creat
(int l,
int r,
int layer)
//找到中間點的位置
int mid =
(l+r)
>>1;
mid_sort = sorted[mid]
;//左右子樹的起始位置
int cnt_l = l-
1,cnt_r = mid;
//cnt_same:當前結點可以容納多少個和mid_sort一樣的元素的上限
//cnt_same值為l到mid的元素個數減去l到r中小於mid_sort的元素個數
int cnt_same = mid-l+1;
for(
int i = l; i <= r; i++)if
(tree[layer]
[i]< mid_sort) cnt_same--
;for
(int i = l; i <= r; i++
)else
}creat
(l,mid,layer+1)
;creat
(mid+
1,r,layer+1)
;}//s代表當前區間的左界，e代表當前區間的右界，layer為樹的層數 ，l是查詢的左界，r是查詢右界，k是題中定義
intquery
(int s,
int e,
int layer,
int l,
int r,
int k)
//ll表示 l 前面有多少元素進入左孩子
int ll ;
if(l != s) ll= num[layer]
[l-1];
else ll =0;
//toleft表示左孩子裡有多少元素
int toleft;
int mid =
(s+e)
>>1;
toleft = num[layer]
[r]- ll;
//cout<
(toleft >= k)
//s+ll是掠過s之前(不包含s)的被分到左孩子裡的元素，s+num[layer][r]-1也是相似意思
return
query
(s,mid,layer+
1,s+ll,s+num[layer]
[r]-
1,k)
;else
}int
main()
return0;
}

參考內容：

快樂找到區間第K大劃分樹

靜態區間第k大（劃分樹）

區間第k大（主席樹）

主席樹區間第K大

快樂找到區間第K大 劃分樹

靜態區間第k大（劃分樹）

區間第k大（主席樹）

主席樹區間第K大

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