叉積在ACM中的應用

若

定義叉積： x1y2 - x2y1

如圖是一種簡單情況，叉積表示的面積即最大的矩形面積減去 p1p2t3所構成的矩形面積。又t4=s4，即要證2(t1+t2+t3)=s1+t1+s2+t2，又已知s1+p1=t1+t3+p2,and s2+p2=t2+t3+p1兩式左右相加即證。

另外的情況也可利用面積的加減證明。

已知直線上的兩點s、e，可以求出ax+by+c=0的引數

a = s.y-e.y;

b = e.x-s.x;

c = s×e;

在直線上取兩點p，q，構成直線的方向向量

poj 2318

2398

在直線外的兩個點分別作應用1中的叉積操作，若得到的結果同號則在同側，異號則在異側。

poj 3304：原題等價為是否存在一條直線（投影路徑）與所有的線段相交

poj 1039：求從管子的一端到最遠到達**。暴力列舉所有可能的光線方向，與管子端點相交、與管重合均可穿過。需注意光線雖與管子不相交但超出管子的情況。

有以下兩種方法。

1、容易理解的是利用性質2，得到直線方程a1x+b1y+c1=0與a2x+b2y+c2=0。當a1b2=a2b1時，直線平行（特判重合的情況）；否則兩直線相交，直接解得x=

2、分別在直線上取兩點，類似於應用2，將其中一條作為基準直線，得到兩個叉積結果。若都為0，則兩直線重合。若兩者不為0且值相等，則兩直線平行。否則相交。

用叉積，而不是求出斜率，這樣能避免斜率不存在的情況。

poj 1269：過濾掉前兩種情況後，求直線的交點座標時再列出直線方程(ax+by+c=0)求解。

4. 判斷線段與線段的位置關係

poj 1556：列舉任意兩個端點是否存在直線通道時，需判斷該線段與其餘的豎直線段是否相交。

poj 2653：該break時就break，否則t無休……

poj 3449：差不多可以當作模擬題來做。

cf 589d：可以抽象成線段來做。

5.判斷多邊形是否是凸包

順次給出多邊形的點判斷其是否構成凸包。由於不知道是順時針還是逆時針給出的，所以先記錄一組(p1−p0)×(p2−p1)的符號作為基準。之後每組(pi+1−pi)×(pn+2−pn+1)的符號都與之比對，若異號，則不為凸包。

注意：若題意允許三點共線，則先找到第乙個非0的符號，再進行判斷。並且允許有0存在。

先特判點o是否在邊上（可利用叉積為零）。

將點o作為頂點，順次連線多邊形的端點，得到n個角度。用叉積順次得到各個角度的符號，若全部同號則點在凸多邊形內。否則不在凸多邊形內。

poj 1584：先判斷給出的點是否構成凸包，再判斷圓心是否在凸包內，再看是否能容納下這個圓。