原部落格位址空間中直線段和三角形的相交演算法
最近在看recast&detour原始碼的時候有遇到許多數學上的演算法問題，特此記錄，以便以後檢視。
分析問題： 已經線段pq (p起點 q終點) ，三角形abc（a b c逆時針儲存），判斷pq與abc有無交點。
第一步：
判斷三角形所在的面和線段所在的直線 是否平行 或者 是否是從三角形面的背面進入。如果是就提前退出，否則進入第二步。
（使用面的法向量 和 線段的向量 的 點積）
平面的方程可以表示為：
x*normal = d （1）
其中 x 為平面上的點，d為原點到平面的距離。
以p為起點的，沿著pq方向的射線上的點的座標可以表示為：
m = p + t*pq = p - t*qp （2）
假設m點即為 平面與pq所在的直線的交點：(m點和a點均為在平面上的點，帶入公式（1）中
(op→−t⋅qp→)⋅normal−→−−−−=oa−→⋅normal−→−−−−
(op→−t⋅qp→)⋅normal→=oa→⋅normal→
解得t為
t=ap−→⋅normal−→−−−−qp→⋅normal−→−−−−
t=ap→⋅normal→qp→⋅normal→
判斷t是否 （0,1）之間，如果是繼續第三步，如果否返回false。
第三步：
判斷是否交點在三角形內部。
三角形abc內的點m可以用三角形的重心座標系表示 ：
m=(1−λ2−λ3)a+λ2b+λ3c
m=(1−λ2−λ3)a+λ2b+λ3c
其中如果lamda3 和 lamda2 都在（0,1）之間，那麼表示m在abc的內部
改寫成向量形式，且把m用公式（2）帶入，得到：
op→−tqp→=(1−λ2−λ3)oa−→+λ2ob→+λ3oc→
op→−tqp→=(1−λ2−λ3)oa→+λ2ob→+λ3oc→
λ2ab→+λ3ac→+tqp→=ap−→
λ2ab→+λ3ac→+tqp→=ap→
寫成向量的形式：
⎛⎝⎜abxabyabzacxacyaczqpxqpyqpz⎞⎠⎟⎛⎝⎜λ2λ3t⎞⎠⎟=⎛⎝⎜apxapyapz⎞⎠⎟
(abxacxqpxabyacyqpyabzaczqpz)(λ2λ3t)=(apxapyapz)
求解lamda2 lamda3：（應用tips中的克萊姆法則以及混合積的運算法則）
λ2=(ap,ac,qp)(ab,ac,qp)=ac⋅(qp×ap)qp⋅(ab×ac)λ3=(ab,ap,qp)(ab,ac,qp)=ab⋅(ap×qp)qp⋅(ab×ac)=−ab⋅(qp×ap)qp⋅(ab×ac)
λ2=(ap,ac,qp)(ab,ac,qp)=ac⋅(qp×ap)qp⋅(ab×ac)λ3=(ab,ap,qp)(ab,ac,qp)=ab⋅(ap×qp)qp⋅(ab×ac)=−ab⋅(qp×ap)qp⋅(ab×ac)
原始碼// 空間點 sp 起點 sq終點
// 三角形空間點 a b c
// 輸出引數 t
static bool intersectsegment********(const float* sp, const float* sq,
const float* a, const float* b, const float* c,
float &t)
tips
克萊姆法則
乙個線性方程組可以用矩陣（a為n*n的方陣）與向量（x，c均長度為n的列向量）的方程來表示：
ax=c
ax=c
如果 a是乙個可逆矩陣，那麼方程有解，為
xi=det(ai)det(a)
xi=det(ai)det(a)
其中ai是被列向量 c取代了 a的第i列的列向量後得到的矩陣。
混合積的運算法則
1.混合積和三維矩陣行列式的關係（其中 後乙個等號 矩陣的轉置矩陣的行列式等於這個矩陣的行列式。）
a⋅(b×c)=∣∣∣∣a1b1c1a2b2c2a3b3c3∣∣∣∣=∣∣∣∣a1a2a3b1b2b3c1c2c3∣∣∣∣
a⋅(b×c)=|a1a2a3b1b2b3c1c2c3|=|a1b1c1a2b2c2a3b3c3|
2.混合積的交換律
a⋅(b×c)=b⋅(c×a)=c⋅(a×b)
a⋅(b×c)=b⋅(c×a)=c⋅(a×b)
圓與三角形（圓與三角形是否相交）
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經典演算法 （三）帕斯卡三角形（楊輝三角形）
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