Leetcode 629 K個逆序對陣列

給出兩個整數 n 和 k，找出所有包含從 1 到 n 的數字，且恰好擁有 k 個逆序對的不同的陣列的個數。

逆序對的定義如下：對於陣列的第i個和第 j個元素，如果滿i < j且 a[i] > a[j]，則其為乙個逆序對；否則不是。

由於答案可能很大，只需要返回答案 mod 109 + 7 的值。

示例 1:

輸入:n = 3, k = 0

輸出:1

解釋:

只有陣列 [1,2,3] 包含了從1到3的整數並且正好擁有 0 個逆序對。

示例 2:

輸入:n = 3, k = 1

輸出:2

解釋:

陣列 [1,3,2] 和 [2,1,3] 都有 1 個逆序對。

說明:

n 的範圍是 [1, 1000] 並且 k 的範圍是 [0, 1000]。

這道題給了我們1到n總共n個數字，讓我們任意排列陣列的順序，使其剛好存在k個翻轉對，所謂的翻轉對，就是位置在前面的數字值大，而且題目中表明了結果會很大很大，要我們對乙個很大的數字取餘。對於這種結果巨大的題目，勸君放棄暴力破解或者是無腦遞迴，想都不用想，那麼最先應該考慮的就是dp的解法了。我們需要乙個二維的dp陣列，其中dp[i][j]表示1到i的數字中有j個翻轉對的排列總數，那麼我們要求的就是dp[n][k]了，即1到n的數字中有k個翻轉對的排列總數。現在難點就是要求遞推公式了。我們想如果我們已經知道dp[n][k]了，怎麼求dp[n+1][k]，先來看dp[n+1][k]的含義，是1到n+1點數字中有k個翻轉對的個數，那麼實際上在1到n的數字中的某個位置加上了n+1這個數，為了簡單起見，我們先讓n=4，那麼實際上相當於要在某個位置加上5，那麼加5的位置就有如下幾種情況：

***x5

***5x

xx5xx

x5***

5***x

這裡***x表示1到4的任意排列，那麼第一種情況***x5不會增加任何新的翻轉對，因為***x中沒有比5大的數字，而 ***5x會新增加1個翻轉對，xx5xx，x5***，5***x分別會增加2，3，4個翻轉對。那麼***x5就相當於dp[n][k]，即dp[4][k]，那麼依次往前類推，就是dp[n][k-1], dp[n][k-2]...dp[n][k-n]，這樣我們就可以得出dp[n+1][k]的求法了:

dp[n+1][k] = dp[n][k] + dp[n][k-1] + ... + dp[n][k - n]

那麼dp[n][k]的求法也就一目了然了:

dp[n][k] = dp[n - 1][k] + dp[n - 1][k-1] + ... + dp[n - 1][k - n + 1]

那麼我們就可以寫出**如下了：

1
class
solution 12}
13}14}
15return
dp[n][k];16}
17 }

我們可以對上面的解法進行時間上的優化，還是來看我們的遞推公式:

dp[n][k] = dp[n - 1][k] + dp[n - 1][k-1] + ... + dp[n - 1][k - n + 1]

我們可以用k+1代替k，得到：

dp[n][k+1] = dp[n - 1][k+1] + dp[n - 1][k] + ... + dp[n - 1][k + 1 - n + 1]

用第二個等式減去第乙個等式可以得到：

dp[n][k+1] = dp[n][k] + dp[n - 1][k+1] - dp[n - 1][k - n + 1]

將k+1換回成k，可以得到：

dp[n][k] = dp[n][k-1] + dp[n - 1][k] - dp[n - 1][k - n]

我們可以發現當k>=n的時候，最後一項的陣列座標才能為非負數，從而最後一項才有值，所以我們再更新的時候只需要判斷一下k和n的關係，如果k>=n的話，就要減去最後一項，這種遞推式算起來更高效，減少了乙個迴圈，參見**如下：

1
class
solution 12}
13return
f[n][k];14}
15 }

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Leetcode 629 K個逆序對陣列 C

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