KMP 和 AC 自動機（坑）

xyynb!

kmp這裡，字串從1開始計數！

眾所周知，kmp是一種單串匹配演算法，把樸素演算法的o(|s|*|t|)優化到了o(|s|+|t|)。

如上圖，在進行樸素演算法時，如果我們已經進行了一些匹配成功，實際上我們就知道了原串的一些資訊，理論上就可以使用這個資訊來加速匹配，跳過一些絕對不可能匹配成功的情況。

所以，該怎麼做呢？這就是kmp很迷的地方之一，也是我一直看不懂kmp的乙個點。

為此，xyy提到了border的概念。border即是某個字串的最長相等前字尾（不包含自己）。

有了這個定義，再結合上面的圖，就可以看到，如果在某個字元失配了，說明這個字元前的模式串t和字串s是相等的，由於border的存在，可以直接跳過一些字串，直接跳到失配字元前的模式串t的border，比較border之後的字元。

一定沒有錯過什麼能夠正確匹配的情況嗎？是的，反證可以證明，要是存在，那border就不是最長了。

也就是說，kmp分為兩個步驟，求t中每個字元前的子串對應的border長度，然後匹配。一般把前者（每個字元前的子串對應的border的長度）定義為fail陣列，或者xyy的π()函式。

在t也很長的時候，暴力求解fail陣列也是不可取的。

這種情況下，可以看出：

由於π(3)=1，可得t[1...1]==t[3...3]又由於t[2]==t[4]，t[1...2]==t[3...4]所以π(4)=2=π(3)+1。

綜上，若t[i+1]==t[π(i)+1]，則π(i+1)=π(i)+1。

那如果t[i+1]≠t[π(i)+1]呢？

有乙個神奇的性質，border的border仍然是原串的border。

由於abacaba是原串的border，則黃串+c+綠串==藍串+c+紅串。

由於aba是abacaba的border，則黃串==綠串，藍串==紅串。

所以，黃串==綠串==藍串==紅串。

因此，我們可以用遞迴的方法，如果t[i+1]≠t[π(i)+1]，則檢查t[i+1]==t[π(π(i))+1]，以此類推，直至出現相等。如果真的很慘，乙個border，那麼應該遞迴到π(i)=0，這時，t[i+1]==0。

綜上，求fail陣列的**為：

void getfail()
return;
}