智力題博弈論

案例一

塗色1:你要在乙個nxm的格仔圖上塗色，你每次可以選擇乙個未塗色的格仔塗上你開始選定的那種顏色。同時為了美觀，我們要求你塗色的格仔不能相鄰，也就是說，不能有公共邊，現在問你，在採取最優策略的情況下，你最多能塗多少個格仔？

給定格仔圖的長n和寬m。請返回最多能塗的格仔數目。

測試樣例：

1,2返回：1

通過繪圖，顯示是二分之一

class
paint};
//答案
class
paint
};

案例二

賽馬：作為乙個馬場的主人，你要安排你的n匹賽馬和另乙個馬場的n匹馬比賽。你已經知道了對方馬場的出戰表，即參加每一場的馬的強壯程度。當然你也知道你自己的所有馬的強壯程度。我們假定比賽的結果直接由馬的強壯程度決定，即更壯的馬獲勝(若相同則雙方均不算獲勝)，請你設計乙個策略，使你能獲得盡量多的場次的勝利。

給定對方每場比賽的馬的強壯程度oppo及你的所有馬的強壯程度horses(強壯程度為整數，且數字越大越強壯)同時給定n，請返回最多能獲勝的場次。

測試樣例：

[1,2,3],[1,2,3],3

返回：2

方法1：這個題目解法，就是如果horse a存在大於未參賽的對方馬，那就跟對方最大的弱於a的馬比賽，勝場次+1；若a小於等於所有未參賽的對方馬，那就選擇未參賽的最大的馬比賽。田忌賽馬。

方法2: 這裡我們不用考慮弱馬戰對方強馬即平或輸的情況，我們只要考慮清楚怎樣獲得最大的贏的次數，剩下的不管怎麼樣，隨機排就可以。那，我們對雙方馬按戰力排序，逆序找到能夠贏的次數，之所以逆序找，是因為這樣能使該贏的馬贏得對方戰力最大的馬。跟方法1比，只是不用考慮弱馬了，時間複雜度也變為了o(n)。

#include
#include
#include
using
namespace std;
intwinmost
(vector<
int> oppo, vector<
int> horses,
int n)
if(oppo[j]
>max)}if
(tmp!=-1
)else
if(mi!=-1
)flag[max]=1
;}return c;
}int
main()
;int b=
;	vector<
int>oppo;
vector<
int>horses;
oppo.
assign
(a,a+
sizeof
(a)/
sizeof
(int))
;	horses.
assign
(b,b+
sizeof
(b)/
sizeof
(int))
;	cout<<
winmost
(oppo,horses,oppo.
size()
);return0;
}

改進：

#include
#include
#include
using
namespace std;
//只需排好序，找到能夠賽贏的最大次數即可
intwinmost
(vector<
int> oppo, vector<
int> horses,
int n)
}return c;
}int
main()
;int b=
;	vector<
int>oppo;
vector<
int>horses;
oppo.
assign
(a,a+
sizeof
(a)/
sizeof
(int))
;	horses.
assign
(b,b+
sizeof
(b)/
sizeof
(int))
;	cout<<
winmost
(oppo,horses,oppo.
size()
);return0;
}

案例三

你和你的朋友正在玩棋子跳格仔的遊戲，而棋盤是乙個由n個格仔組成的長條，你們兩人輪流移動一顆棋子，每次可以選擇讓棋子跳1-3格，先將棋子移出棋盤的人獲得勝利。我們知道你們兩人都會採取最優策略，現在已知格仔數目，並且初始時棋子在第一格由你操作。請你計算你是否能獲勝。

給定格仔的數目n(n為不超過300的正整數)。返回乙個整數，1代表能獲勝，0代表不能獲勝。

測試樣例：

3返回：1

分析，通過畫圖發現，當遇到四個格仔時，雙方共同努力，就會讓先走的那個人失敗。

class jump 
};

案例四

a與b做遊戲。在乙個n*m的矩陣中的出發點是（1，m），終點是（n,1），規則是只能向左移動一格，向下一格或向左下移動一格，先走到終點的為winner。 a先走。

給定兩個整數n和m，請返回最後的獲勝者的名字(a或b)。

測試樣例：

5 3返回：b

分析；當m和n都是奇數時，先走a的必輸，因為在每個方向上都是後手b先到；那麼在其他情況時，a都能走一步（左或下），使b走時走時變成全奇數，這樣b必輸。

class game 
};

案例五

現在有乙個整數陣列，其元素值均為1-n範圍內的某個整數，現在你和你的朋友在玩乙個遊戲，遊戲的目的是把陣列清空，你們輪流操作，你是先手，每次操作你可以刪除陣列中值為某個數的元素任意多個(當然陣列中值為這個數的元素個數應大於等於你刪除的個數,且你至少要刪除乙個數)。最先把陣列清空的人獲得勝利。假設你們都採取最優策略，請你計算你能否獲得勝利。

給定乙個整數陣列a和元素個數n。請返回乙個整數，1代表你能獲勝，0代表你不能獲勝。

測試樣例：

[1,1,1]

返回：1

nim博弈,原型:n堆石子，每次只能拿其中一堆，可以拿走該隊中任意個石子(>=1),對於幾大堆石子，先手能否獲勝？

分析：如果是兩種數字每種個數相同，那麼先手取一種數字的x個，後手就能在另一種數字中取x,只要這樣，最終後手就會取得勝利；當兩種數字不同時，先手先取多的那種數字中多出來的部分，之後的情況就和上一種情況相同，這時先手獲勝；再看多種數字的情況，nim有個判斷方法：對每種數字個數異或的結果判斷，當異或結果為0時，稱為平衡狀態，為1,稱為不平衡狀態，不平衡時（1）先手勝，平衡時（0）後手勝。為什麼？

對每種數字的個數按二進位制轉化，每位上表示該種數字的乙個自劃分：

a=an,an-1,...,a2,a1,a0;   
b=bn,bn-1,...,b2,b1,b0;   
c=cn,cn-1,...,c2,c1,c0;   
d=dn,dn-1,...,d2,d1,d0;
...

舉個例子：a=15(1111),b=13(1101),c=3(0011),d=1(0001);

1 1 1 1 1 1 0 1 0 0 1 1 0 0 0 1

res=a ^ b ^ c ^ d;結果為0，表示後手勝；

假如先手拿a-7：

1 0 0 0 1 1 0 1 0 0 1 1 0 0 0 1

這時，已經不像兩種數字時後手直接複製操作就可以取勝，因為不能同時拿兩種數字，那後手怎麼拿能夠取勝呢？先找到不平衡的最大數，這裡是1101,結對對1101-x->1010就又保持了平衡。

1 0 0 0 1 0 1 0 0 0 1 1 0 0 0 1

其他操作見圖

還有乙個疑問，為什麼初始平衡，一定是後手勝呢？雙方都在追求平衡，最後一定會剩下兩個不一樣的數，還都是單個的，平衡的，先拿的肯定輸；再回過頭看，每次操作都都是平衡到不平衡，或者是不平衡到平衡，從最開始的平衡到最後的平衡，一定是經歷偶數次的，拿最後的平衡一定還是先手拿，所以先手輸。同樣，一開始不平衡，先手只需經歷乙個操作使其變為平衡，接著是後手操作，就跟上述一樣了，所以後手輸，先手勝。

class clear 
i=j-1;
//跳到下乙個數字
res^=tmp;
}return res !=0;}};

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