矩陣的跡以及跡對矩陣求導

矩陣的跡 就是 矩陣的主對角線上所有元素的和。

矩陣a的跡，記作tr(a)，可知tra(a)=∑aii，1<=i<=n。

證明

這個是tr(ab)=tr(ba)的推廣定理，很容易證明。

根據定理tr(ab)=tr(ba)可知：

tr(abc)=tr((ab)c)=tr(cab)

tr(abc)=tr(a(bc))=tr(bca)

所以tr(abc)=tr(bca)=tr(cab)

這個定理的實質就是：abc的各種迴圈形式的矩陣乘函式的跡都相等，如下解釋：

abc的迴圈形勢有三種：abc、bca，cab。

就是從abcabc中依次取以a,b,c開頭且含有a、b、c的依次是：abc、bca、cab，他們三個的跡相等~

不能更容易證明了，矩陣轉置不改變矩陣的主對角線上的所有元素，所以a和a的轉置矩陣的跡一定相等。

即：xb矩陣乘函式的跡對x求導 結果等於矩陣b的轉置

證明

即:x'b的矩陣乘函式的跡對x求導等於矩陣b

證明：

證明：把a當做乙個1×1的矩陣，所以tr(a)=a

dtr(x)表示，矩陣x的跡對矩陣x自己求導等於單位矩陣i

證明：因為tr(a'xb')=tr(a'xb')'=tr(bx'a)=tr(abx')

所以dtr(a'xb')=dtr(bx'a)=dtr(abx')

又因為dtr(abx')=ab

所以dtr(a'xb')=dtr(bx'a)=ab

定理：d(tr(axbx'))=axb + a'xb'

證明：

證明

(end)

機器學習 彙總詳解 矩陣的跡以及跡對矩陣求導

矩陣的跡 就是 矩陣的主對角線上所有元素的和。矩陣a的跡，記作tr a 可知tra a aii，1 i n。證明 這個是tr ab tr ba 的推廣定理，很容易證明。根據定理tr ab tr ba 可知 tr abc tr ab c tr cab tr abc tr a bc tr bca 所以t...

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