一、概念
動態規劃與分治方法相似，都是通過組合子問題的解來求解原問題。分治方法將問題劃分為互不相交的子問題，遞迴求解子問題，再將它們的解組合起來，求出原問題的解。
動態規劃應用於子問題重疊情況，不同的子問題具有公共的子子問題。這種情況，分治演算法會反覆地求解公共子子問題，動態規劃演算法對每個子問題只求解一次。
動態規劃方法通常用來求解最優化問題。這類問題可以有很多可行解，我們希望尋找具有最優值的解(乙個問題可能有多個最優解)。
設計動態規劃演算法：
刻畫乙個最優解的結構特徵。
遞迴地定義最優解的值。
計算最優解的值，通常採用自底向上的方法。
利用計算出的資訊構造乙個最優解。
二、應用：鋼條切割問題：
問題描述及**
public class cut
// r4 = max(p1 + r3, p2 + r2, p3 + r1, p4)
// 此項公式中，原問題最優解只包含乙個相關子問題（右端剩餘部分）的解，而不是兩個。
private static int cutrod(int p, int n)
int q = -1;
for (int i = 1; i <= n; i ++)
}return q;
}// t(n) 表示第二個引數值為n時，cutrod的呼叫次數
// 如何證明 t(n) = 2 ^ n 注① 下方有證明推導
// 上面的遞迴演算法之所以效率低，是因為反覆求解相同的子問題。
// 動態規劃法：安排求解順序，對每個子問題只求解一次，並將結果儲存下來。如果隨後需要子問題的解，指需查詢儲存的結果，不必反覆計算。
// 1、沿用上面的方法，加入備忘的功能 注② 此方法的執行時間 o（n^2） 下方有說明
private static int memoizedcutrod(int p, int n)
return memoizedcutrodaux(p, n, r);
}private static int memoizedcutrodaux(int p, int n, int r)
if (n == 0) else }}
r[n] = q;
return q;
}// 優化
// 注③ 此方法的執行時間 o（n^2） 下方有說明
// 這種方法一般需要恰當定義子問題「規模」的概念，使得任何子問題的求解都只依賴於「更小的」子問題的求解。
// 因此，我們將子問題按規模排序，由小到大的順序進行求解。當求解莫格仔問題時，它所依賴的更小的子問題都已
// 求解完畢，結果已經儲存。每個子問題都只需求解一次。
private static int bottomupcutrod(int p, int n)
}r[j] = q;
}return r[n];
}public static void main(string args) ;
int value = bottomupcutrod(p, 8);
system.out.println("最大價值：" + value);}}
注①
t(n) 表示第二個引數值為n時，cutrod的呼叫次數
證明 t(n) = 2 ^ n
注②第二塊**時間複雜度 o（n^2）證明：
第一層 1 to n 還沒遞迴。這個需要執行n次。之後的遞迴 n-1,n-2,…,3,2,1
所以，時間複雜度是o(n^2)
注③第三塊**時間複雜度 o（n^2）證明：
我們可以知道，內層for的執行時間其實是乙個等差數列，
例如：n= 4 時候， 執行次數：1 + 2 + 3 + 4
n = 5 時，執行次數 1 + 2 + 3 + 4 + 5
…所以是 o(n^2)
[1] 概念及題目出處：《演算法導論》 機械工業出版社
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