斐波那契數列問題解法總結 遞迴 動態規劃 矩陣冪

時間複雜度

def fibonacci(n):

if n == 1:
return 1
elif n == 2:
return 1
elif n > 2:
return fibonacci(n-1)+fibonacci(n-2)
for n in range(1,100):
print(n,':', fibonacci(n))

fibonacci_cache = {}

def fibonacci(n):
if n in fibonacci_cache:
return fibonacci_cache[n]
if n == 1:
value = 1
elif n == 2:
value = 1
elif n > 2:
value = fibonacci(n-1) + fibonacci(n-2)
fibonacci_cache[n] = value
return value
for n in range(1,100):
print (n,':', fibonacci(n))

def fibonacci(n):

if n == 1:
return 1
elif n == 2:
return 1
a = 1
b = 2
tmp = 0
for i in range(3,n):
tmp = a + b
a = b
b = tmp
return tmp
for n in range(1,100):
print(n,':', fibonacci(n))

from functools import lru_cache

@lru_cache(maxsize = 1000, typed=false)
def fibonacci(n):
if n == 1:
return 1
elif n == 2:
return 1
elif n > 2:
return fibonacci(n-1)+fibonacci(n-2)
for n in range(1,100):
print(n,':', fibonacci(n))

maxsize: 是儲存最近的多少個快取中的結果，預設為 128。

type: type 如為 true，即把不同引數型別得到的結果分開儲存，如 f(3) 和 f(3.0) 會被區分開。 

時間複雜度

首先，斐波那契數列遞推公式為：

用矩陣運算形式表示為：

那麼進一步推導：

所以求和問題轉化為求矩陣冪的問題。此處求矩陣冪用二分法，**中使用的是遞迴方法求矩陣冪。

from numpy import *

import numpy as np
def mat_power(matrix, n):
if n == 1:
return matrix
if n % 2 == 0:
tmp = mat_power(matrix, n/2)
return np.dot(tmp,tmp)
else:
tmp = mat_power(matrix, floor(n/2))
return np.dot(np.dot(tmp,tmp),matrix)
def fibonacci(n):
a = array([[1,1],[1,0]],dtype=object) 
#注意這裡dtype=object，預設為int64。當n>93時，int64會overflow。
if n == 1:
return 1
elif n == 2:
return 1
else:
result = np.dot(mat_power(a, n-2), array([[1],[1]]))
return int(result[0])
for n in range(1,100):
print(n,':', fibonacci(n))

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原題出自ural 1133。題目大意 擴充套件斐波那契數列在整數集上的定義，即不是從f0 0，f1 1 這樣子開始的，下標可以是任意整數。給定這樣乙個序列中的兩個下標，i，j，以及他們在序列中對應的值fi fj 然後要求fn n是輸入的乙個數字 思路1 由於題目裡說到資料範圍在 2 109 fk 2...