遞迴函式（四） 全函式與計算的可終止性

遞迴函式（一）：開篇

遞迴函式（二）：編寫遞迴函式的思路和技巧

遞迴函式（三）：歸納原理

遞迴函式（四）：全函式與計算的可終止性

遞迴函式（五）：遞迴集與遞迴可列舉集

遞迴函式（六）：最多有多少個程式

遞迴函式（七）：不動點運算元

遞迴函式（八）：偏序結構

遞迴函式（九）：最小不動點定理

上文我們討論了集合上的關係，還討論了數學歸納法的一種普遍形式，稱為良基歸納法，

它建立在集合上的良基關係之上。

本文開始討論函式，我們將回顧函式的定義，

然後解釋什麼是全函式（total function），什麼是部分函式（partial function）。

我們會看到，在證明乙個遞迴函式是全函式時，

良基歸納法起到了重要作用。

在分析學中，人們似乎很少關心函式的完全性，

只關心它的連續性，可導性，可微性與可積性，等等。

而在電腦科學領域中，人們更在意計算的可終止性，

因此乙個函式在某個點是否有定義將經常被提及。

程式中定義的函式，往往對應於某個集合上的數學函式，

為了描述程式的非終止性，就得擴充這個數學函式的定義域和值域。

為了理解這些事情，我們先要從函式的定義開始。

集合\(a,b\)上的關係，是笛卡爾積\(atimes b\)的乙個子集。

而函式\(f:arightarrow b\)，則是集合\(a,b\)上的一種特殊關係，

它要求\(a\)中的每乙個元素，都有\(b\)中唯一確定的元素與之對應。

其中，集合\(a\)稱為函式\(f\)的定義域，集合\(b\)稱為函式的值域。

函式是我們熟悉的概念，這裡只是提到了它本質上是集合上的乙個關係。

（1）部分函式（partial function）

如果\(f\)是從\(a\)到\(b\)的二元關係，且\(forall ain a\)，\(f(a)=varnothing \)或\(lbrace brbrace \)，

則稱\(f\)是從\(a\)到\(b\)的部分函式，或\(a\)上的部分函式。

其中，如果\(f(a)=lbrace brbrace\)，則稱\(f(a)\)有定義，記為\(f(a)downarrow \)，

也稱\(b\)為\(f\)在\(a\)點的函式值，記為\(f(a)=b\)。

如果\(f(a)=varnothing \)，則稱\(f(a)\)無定義，記為\(f(a)uparrow \)。

（2）全函式（total function）

如果\(forall ain a\)都有\(f(a)downarrow \)，則稱\(f\)是\(a\)上的全函式，

此時，可以記為\(f:arightarrow b\)。

可見，我們熟悉的函式，指是全函式。

值得注意的是，部分函式的定義已經包含了我們學過的「函式」的定義，

後文中，我們提到的「函式」如果不強調它的完全性的話，都泛指部分函式。

部分函式在電腦科學中是非常重要的，

因為對於每乙個\(ain a\)，乙個演算法可以表示為，計算出集合\(b\)中與之對應元素的過程，

這個演算法可能對於某些值\(ain a\)不會終止，而這種情況是很常見的。

例如：

f :: int -> int

f 1 = 1
f n = n + f(n-2)

只有當n是奇數時，我們才能得到終止性的結果。

而當n是偶數時，演算法會無限的遞迴下去，直到堆疊溢位。

因此，將int解釋為整數集\(n\)，將f :: int -> int解釋為整數集上的函式，似乎是有問題的。

因為，\(f(2)\)並不是乙個整數，它的計算不能終止。

為了描述非終止性，就需要對整數集進行擴充，

我們給整數集加上乙個特殊元素「\(perp \)」，稱為bottom，來表示非終止性，

而將f :: int -> int解釋為集合\(ncup lbrace perp rbrace \)上乙個的數學函式。

像這種通過構造表達程式含義的數學物件，來對程式進行分析的方法，來自指稱語義學。

指稱語義中，人們會區分函式的嚴格性，乙個函式稱為嚴格的（strict），

如果接受乙個非終止的輸入表示式，函式的計算仍然不會終止，

即，\(f(perp )=perp \)。

否則，稱函式為不嚴格的（non-strict）。

我們看到在程式中使用遞迴，可能會導致非終止性的計算，而有些遞迴又不會。

這是為什麼呢？

我們可以從遞迴函式論中找到一些線索。

遞迴函式論是和圖靈機以及\(lambda \)演算相等價的計算模型，它從另乙個角度刻畫了可計算性。

可計算性是乙個有趣的話題，後續文章中，我們會詳細討論。

在遞迴函式論中，人們把函式劃分為了3個層次，

原始遞迴函式，遞迴函式，和其他的不能用遞迴函式表示的「函式」。

這些函式集合的範圍越來越大。

本文我們先介紹原始遞迴函式，

為此，我們需要先定義兩種運算。

（1）合成運算

設\(f\)是\(k\)元部分函式，\(g_1,g_2,cdots ,g_k\)是\(k\)個\(n\)元部分函式，令，

\(h(x_1,cdots ,x_n)=f(g_1(x_1,cdots ,x_n),cdots ,g_k(x_1,cdots ,x_n))\)

則稱\(h\)是由\(f\)和\(g_1,g_2,cdots ,g_k\)，經過合成運算得到的。

（2）原始遞迴運算

設\(f\)是乙個\(n\)元全函式，\(g\)是\(n+2\)元全函式，令，

\(h(x_1,cdots ,x_n,0)=f(x_1,cdots ,x_n)\)

\(h(x_1,cdots ,x_n,t+1)=g(t,h(x_1,cdots ,x_n,t),x_1,cdots ,x_n)\)

則稱\(h\)是由\(f\)和\(g\)經過原始遞迴運算得到的。

於是，我們就可以定義原始遞迴函式了。

設初始函式包括，

（1）零函式\(n(x)=0\)

（2）後繼函式\(s(x)=x+1\)

（3）投影函式\(u^n_i(x_1,cdots ,x_n)=x_i\)，\(ileqslant ileqslant n\)

則由初始函式經過有限次合成運算和原始遞迴運算得到的函式，稱為原始遞迴函式。

原始遞迴函式有以下這些性質：

由原始遞迴函式經過合成或原始遞迴得到的函式仍為原始遞迴函式，

因此，原始遞迴函式的集合在合成與原始遞迴運算下是封閉的。

此外，每乙個原始遞迴函式都是全函式。

這是因為合成運算雖然是在部分函式上定義的，

但是如果\(f\)和\(g_1,g_2,cdots ,g_k\)是全函式，那麼\(h\)也一定是全函式。

另一方面，在進行原始遞迴運算時，如果\(f\)和\(g\)是全函式，則\(h\)也一定是全函式，

這是因為原始遞迴運算在\(h\)的引數集上的定義了乙個良基關係，由良基歸納法可證，\(h\)是全函式。

本文介紹了全函式與部分函式，以及計算可終止性相關的概念，

我們對程式中函式的指稱，進行了定義域和值域的擴充，

隨後，我們進一步了解了原始遞迴函式，以及它的完全性，良基歸納法起到了關鍵作用。

下文，我們將深入到可計算性理論，

討論部分可計算函式和可計算函式的區別，討論遞迴函式與原始遞迴函式的關係，

引出遞迴可列舉集這個重要的概念。

function (mathematics))

strict function

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