問題
資料結構課堂上丟擲乙個問題，下面一段演算法，複雜度是_______？
i=1;
while(i
<=n)
i=i*3;
3n)b. o(
n)c. o(n
3)d. o(l
og3n
) 意外
連叫三位同學回答，列一例外選b，讓我有些吃驚。看來這是老師的問題，大家的思維沒有到位。
分析及解答
所謂複雜度，是要對關鍵運算的次數進行計數。關鍵運算的次數，與問題規模有關。在這裡，就是要考察迴圈了。關鍵運算是乘法，我們看執行演算法中，需要多少次乘法。而問題規模呢？顯然，執行多少次迴圈，與n的初值有關。這裡設迴圈執行的次數為t(
n)。 這裡迴圈次數首先可以確定不是b所指定的線性關係。為直觀起見，我們設
n足夠大，用於控制迴圈的變數 i 的變化過程是：
1（初值，由i=1）
3（第1次迴圈：i=i*3）
9（第2次迴圈：i=i*3）
27（第3次迴圈：i=i*3）
81（第4次迴圈：i=i*3）
273（第5次迴圈：i=i*3）
819（第6次迴圈：i=i*3）
2457（第7次迴圈：i=i*3）
…… 可以看到 i 的值就這樣，按著指數級的速度，向著(i<=n)這個使迴圈結束的條件奔去。
我們已經設迴圈執行的次數為t(
n)。可以發現，當3t
(n)≤
n時，迴圈繼續，迴圈結束時，恰 3t
(n)>
n，容易得到 t(
n)≈l
og3(
n)，論及複雜度，我們常只考察量級，故有t(
n)=o
(log
3n)。
後續的疑問
課堂中我講了這個結論得出的過程，大多數同學接受了。個別同學還在繼續思考（好習慣，就著熱乎勁，有質疑，有思考，學習的優良品質！）。問得最多的問題是：當n=3(或某乙個具體的數)時，迴圈的次數不等於lo
g3n！
對此，暴露出同學們對複雜度的理解中，還有兩點不到位：
1. 複雜度只作粗略的，在定性（量級）上的考察，而不是定量（精確的計數算式）的計算，多幾次少幾次，不要細究了。注意說複雜度是o(
log3
n)，而不是lo
g3n。要深刻理解這兒運用的「大o」的目的。
2. 複雜度只在意定性，而不在定量，為此，在衡定量級時，只保留高階部分，低階部分統計統不管，高階式子的係數統統去掉。例如，關鍵運算的執行頻度計數為
10000n3
+200n2
+1000
，在「取量級」的大方針下，也是o(
n3)。因為在
n 值取很大的這個前提下，
200n2+
1000
再大，在n3
面前也別抬頭；n3
前的係數再大，也不是主要因素。這是複雜度分析中，我們在抓主要矛盾。
3. 學計算機，計數是個很重要很重要的問題，計數的理論，也是深不可測。精確的計數，感興趣的同學可以關注，但在演算法的複雜度分析上，適應「就到量級」的處理，這裡也有大學問，這也是實用的處理。
拓展
（1）下面一段演算法，複雜度是_______？
i=n;
while(i>1)
i=i/3;
3n)b. o(
n)c. o(n
3)d. o(l
og3n
)e. o(
1)（2）下面一段演算法，複雜度是_______？
i=1;
while(i
<=n)
i=i+3;
n/3)
b. o(n
)c. o(
3n)d. o(
log3
n)（3）下面一段演算法，複雜度是_______？
i=1;
while(i
<=n)
n=i*3;
∝)b. o(n
)c. o(
3n)d. o(
log3
n)解析
（1）d。和原問題其實一樣，照文章中的思路做一遍即可得到答案。若關鍵運算執行次數與問題規模
n無關時，複雜度為e. o(
1)，顯然，這裡 i 的初值是 n ，並非無關。
（2）b。最迷惑人的，是a。迴圈的次數，迴圈次數約是 n3
，但是，係數13
是要去掉的，選b。
（3）錯題！這段**若執行，是個死迴圈，終止於記憶體溢位，或者有些對溢位不處理的語言，就真的一直會不停地執行下去。從演算法角度，由於違反了「有窮性」，這也根本稱不上是「演算法」了。
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