快取思想在演算法設計中的應用

斐波那契數列（fibonacci sequence），又稱**分割數列、因數學家列昂納多·斐波那契（leonardoda fibonacci）以兔子繁殖為例子而引入，故又稱為「兔子數列」，指的是這樣乙個數列：1、1、2、3、5、8、13、21、34、……在數學上，斐波納契數列以如下被以遞推的方法定義：f(1)=1，f(2)=1, f(3)=2,f(n)=f(n-1)+f(n-2)（n>=4，n∈n*）在現代物理、準晶體結構、化學等領域，斐波納契數列都有直接的應用，為此，美國數學會從2023年起出版了以《斐波納契數列季刊》為名的乙份數學雜誌，用於專門刊載這方面的研究成果。

直接根據遞推關係式，我們可以設計常規的遞迴演算法：

fibonacci(n)
if n=1 return 1
if n=2 return 2
if n>2 return fibonacci(n-1)+fibonacci(n-2)

在這個方法中包含了大量重複的計算，比如在計算fibonacci(n)時需要計算一次fibonacci(n-2)的值，在計算fibonacci(n-1)時仍然要計算一次fibonacci(n-2)的值，問題的規模和計算的次數呈現如下的關係：

問題規模為n時子問題的計算次數

問題規模

計算次數

1和2count(3)+count(4)

3count(4)+count(5)

4count(5)+count(6)

5count(6)+count(7)

n-3count(n-1)+count(n-2)=3

n-2count(n-2)=2

n-1count(n-1)=1

可以發現問題規模n的計算次數形成了一種「倒序」排列的斐波那契額數列，解決問題的所需要的計算次數和原問題呈現出相同的規模，執行效率會特別的慢。

事實上，我們可以使用乙個陣列快取下已經計算的子問題的值，當子問題被再次用到時，直接使用快取的值即可，避免重新計算，從而提公升效率。

初始化陣列 a[1..n]=
fibonacci(n,a)
if n=1 return a[1]
if n=2 return a[2]
if n>2 
a[n]=(a[n-1]=0?fabonacci(n-1):a[n-1])+(a[n-2]=0?fabonacci(n-2):a[n-2])
return a[n]

借助陣列做資料快取中間結果值，可以大大提公升演算法的執行效率。當然，對於斐波那契數列本身還有很多更好的優化方法，比如使用迭代進行一趟迴圈，或者借助斐波那契的矩陣乘法定義進行優化等。我們這裡只是用這個例子來說明快取在演算法優化中的應用。

現在我們把關注點回到快取思想上來。從對斐波那契數列的優化過程中可以看到，快取是典型的以空間換取時間的策略。在計算機的設計與程式設計過程中，快取是一種經常用到的思想。

綜上比較，快取思想的應用可以分成兩個方面：一是，在速度相差比較大的軟體/硬體之間，用以協調二者的速度差異，提公升整體的吞吐率，比如計算機系統中的高速緩衝儲存器；二是，對計算資源消耗較大的中間結果做快取，以避免重複計算，比如資料庫連線池中對連線物件的快取避免重複對物件的建立，以及上述我們在優化斐波那契數列時對子問題中間結果的快取等。

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