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朱金燦
假如我們採用向量表示式來表示引數化的二次曲線，那麼可以把拋物線的表示式寫成如下的一般形式：
p(t)=a
1+ a
2t+ a3t
2(0=
該拋物線過p
1, p
2, p
3三個點，並且：
1.拋物線以p
1點為始點。當參變數t=0
時，曲線過p1點；
2.拋物線以p
3點為終點。當參變數t=0
時，曲線過p3點；
3.當參變數t=0.5
時，曲線過p2點,
且切向量等於p3—p
1。t=0: p(0)= a
1= p
1t=1:
p(1)= a
1+ a
2+ a3=p
3t=0.5:p(0.5)=a1
+ 0.5a
2+0.25 a3=p
2通過解聯立方程，得到三個引數a1、a
2、a3分別為： a1
= p1a2
=4 p2—p
3—3p1a
3=2p
1+2p
3—4p2
把求出的這三個係數的值，代入拋物線的表示式p(t)=a
1+ a
2t+ a3t
2得：p(t)=
（2t—3t+1）p1
+(4t
—4t2)p2
+(4t
2—t)p
3
(0=
設有一離散型值點列p
i（i=1,2,……,n
）,每經過相鄰三點作一段拋物線，由於有n
個型值點，所以可以做n-2
條拋物線段。
在這n—2條拋物線段中，第i
條拋物線段為經過p
i, p
i+1, p
i+2三點，所以它的表示式應為：si(t
i)=（2t2
i—3ti+1
）pi+(4 t
i—4 t2i
) pi+1
+(2t2i
—ti) pi+2
(0=< t
i<=1)
同理，第i+1
條拋物線段為經過p
i+1, p
i+2, p
i+3三點，所以它的表示式應為：s
i+1(t
i+1)=
（2t2
i+1—3t
i+1+1
）pi+1
+(4 t
i+1—4 t
2i+1
) pi+2
+(2t
2i+1
—ti+1
) pi+3
(0=< t
i+1<=1)
一般來說，每兩段曲線之間的搭接區間，兩條拋物線是不可能重合的。如下圖所示：
顯然，對於擬合曲線來說，整個型值點必須只能用一條光滑的曲線連線起來。為了做到這一點，必須找一種方法把si和s
i+1這樣的曲線段的共同區間結合起來。這種方法就是加權合成方法。
我們設共同區間的函式是p
i+1(t)=f (t )si
(ti)+g ( t) s
i+1(t
i+1).
其中f (t )
和g ( t)
是權函式。在拋物樣條曲線中我們取簡單的一次函式為權函式，且具有互補性，設
f (t ) =1—t
g ( t) =t
這樣pi+1
(t)= (1
—t ) si
(ti)+ t s
i+1(t
i+1).
因為函式中有t、ti
和ti+1
三個引數，因此接下來我們的工作是統一引數。我們可以三個參變數統一形式為：
t=2tti
=0.5+t
ti+1=t
這樣pi+1(t)=
（—2t
3+4t2—t
）pi+(12t
3—410t
2+1) p
i+1+(
—12t
3+8t
2+t) p
i+2+
(4t3
—2t2
) pi+3
(0=< t
i<=0.5)
從幾何意義上說，函式p
i+1(t)
表示的上圖的點p
i+1,
到pi+2
之間的線段。但是我們應該看到這種方法從n
個點中只能得到n
—3段曲線。但是n
個型值點應有n
—1段曲線。乙個直接的想法是新增兩個輔助點。那麼如何新增呢？
方法一：兩個輔助點為p0和p
n+1, p
0=p1
，pn+1=p
n ,這樣畫出的曲線為一條不閉合的自由曲線。
方法二：新增三個輔助點，p0、p
n+1和p
n+2，然後p
0=pn
，pn+1=p
1,，p
n+2=p2
,這樣畫出的曲線為一條閉合的曲線。
下面介紹根據上面原理而設計的乙個畫拋物曲線的乙個類：
class cparspl : public cobject ;
const int clip=10;
cparspl::cparspl() //
預設的建構函式
cparspl::~cparspl()
cparspl::cparspl(int nlinestyle,int nlinewidth, colorref crlinecolor)
void cparspl::setpoint(const cpoint &point)
void cparspl::drawfreeline(cdc *pdc)
pdc->lineto(parsplpoint[i+2].x,parsplpoint[i+2].y); }
for(i=0;i
/* 將舊畫筆選回裝置環境*/
pdc->selectobject(plinepen);
/*刪除輔助點
*/parsplpoint.removeat(parsplpoint.getupperbound()); }
void cparspl::drawcloseline(cdc *pdc)
pdc->lineto(parsplpoint[i+2].x,parsplpoint[i+2].y); }
for(i=0;i
/*將舊畫筆選回裝置環境*/
pdc->selectobject(plinepen);
/*刪除最後兩個輔助點*/
parsplpoint.removeat(parsplpoint.getupperbound());
parsplpoint.removeat(parsplpoint.getupperbound()); }
程式效果圖：
自由端曲線：
封閉端曲線：
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拋物樣條曲線的原理說明及畫拋物曲線的乙個類
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