完全揹包dp

完全揹包類似題目（不過求最小值）：杭電1114

《揹包九講》

基本形式： 有 n 種物品和乙個容量為 v 的揹包，每種物品都有無限件可用。放入第 i 種 物品的費用是 c i ，價值是 w i

。求解：將哪些物品裝入揹包，可使這些物品的耗 費的費用總和不超過揹包容量，且價值總和最大。

基本思路： 這個問題非常類似於01揹包問題，所不同的是每種物品有無限件。也就

是從每種物品的角度考慮，與它相關的策略已並非取或不取兩種，而是有 取 0 件、取 1 件、取 2 件……直至取 ⌊v /c i ⌋

件等許多種。 如果仍然按照解01揹包時的思路，令 f[i,v] 表示前 i 種物品恰放入乙個容 量為 v

的揹包的最大權值。仍然可以按照每種物品不同的策略寫出狀態轉移方 程，像這樣： f[i,v] = max

o(v n) 的演算法 這個演算法使

用一維陣列，先看偽**： f[0…v ]←0 for i ← 1 to n for v ← c i to

v f[v] ← max (f[v],f[v − c i ] + w i ) 你會發現，這個偽**與01揹包問題的偽**只有 v

的迴圈次序不同而已。 為什麼這個演算法就可行呢？首先想想為什麼01揹包中要按照 v 遞減的次序來 迴圈。讓 v 遞減是為了保證第 i

次迴圈中的狀態 f[i,v] 是由狀態 f[i − 1,v − c i ] 遞

推而來。換句話說，這正是為了保證每件物品只選一次，保證在考慮「選入 第 i 件物品」這件策略時，依據的是乙個絕無已經選入第 i

件物品的子結果 f[i − 1,v − c i ] 。而現在完全揹包的特點恰是每種物品可選無限件，所以在考慮「加 選一件第 i

種物品」這種策略時，卻正需要乙個可能已選入第 i 種物品的子結 果 f[i,v − c i ] ，所以就可以並且必須採用 v

遞增的順序迴圈。這就是這個簡單的 程式為何成立的道理。

值得一提的是，上面的偽**中兩層for迴圈的次序可以顛倒。這個結論有 可能會帶來演算法時間常數上的優化。

這個演算法也可以由另外的思路得出。例如，將基本思路中求解 f[i,v−c i ] 的

狀態轉移方程顯式地寫出來，代入原方程中，會發現該方程可以等價地變形成 這種形式： f[i,v] = max (f[i −

1,v],f[i,v − c i ] + w i ) 將這個方程用一維陣列實現，便得到了上面的偽**。

最後抽象出處理一件完全揹包類物品的過程偽**： def completepack( f,c,w ) for v ← c to v f[v]

← max

個人理解： 與01揹包相比，內層迴圈重量從0正向遍歷到m正是為了使每乙個物品都可以在無限次加入揹包（在不超過揹包承載重量的前提下）。

#include#includeusing namespace std;

int n;  //物品的個數 
int m;  //揹包的最大容量 
int value[1005];  //物品的價值 
int weight[1005]; //物品的重量 
int dp[1005][1005]  //dp陣列 
/*完全揹包
空間複雜度為v(n*m)的演算法
*/void init()   //初始化函式 
void completepack()  //解決揹包問題的函式 
else dp[i][j]=dp[i-1][j];   //否則等於上乙個狀態 
}	}}int main()  //主函式 
void completepack()  //解決揹包問題的函式 
}}int main()  //主函式 
solve();
if(dp[m]==1000000) cout<<"this is impossible."
}

DP完全揹包

written with stackedit.每件物品不限數量 轉化為0 1揹包 每個物體盡可能多放 why?遞推式為 f i j max,kw i wf i,j max forall kw i f i,j max kw i w其他思路和01揹包相同.檢查每乙個k不會造成越界的k.0 1揹包就是完全...

dp 完全揹包）

有 n n n 種物品和乙個容量是 v v v 的揹包，每種物品都有無限件可用。第 i i i 種物品的體積是 v i vi vi，價值是 w i wi wi。求解將哪些物品裝入揹包，可使這些物品的總體積不超過揹包容量，且總價值最大。輸出最大價值。輸入格式 第一行兩個整數，n，v n，v n，v，用...

完全揹包 貪心 dp

考慮以下問題 有n nn種物品，第i ii種有z iz i zi 個，價值是y iy i yi 重量是w iw i wi 那麼把這些物品放入大小為x xx的揹包，的最大價值是多少 n,yi 50 wi,z i 10 9 n,y i leq 50 w i,z i leq 10 9 n,yi 50w i...