滿足下面幾個條件的二叉搜尋樹，稱為紅黑樹：
1. 任何乙個節點都被著色――紅色或是黑色。
2. 根節點是黑色的。
3. 所有的nil 節點都看成黑色（nil 節點是就是乙個假想的或是無實在意義的節點，所有應該指向null 的 指標，都看成指向了nil 節點。包括葉節點的子節點指標或是根節點的父指標）。
4. 如果乙個節點是紅色的，那麼它的子節點一定是黑色的。
5. 對於任何乙個節點而言，從該節點到它的子孫節點中的nil 節 點路徑中，所包含的黑節點個數相同。
黑高度的定義：
從任何乙個節點，向下到底部的路徑中，包含的黑節點的個數，稱為這個節點的黑高度。從紅黑樹的第５條性質可以看出，黑高度是唯一的、確定 的。
只要同時滿足紅黑樹的這些條件，就一定會有「紅黑樹可以保證任何兩條從根部到樹葉的路徑節點個數相差不超過２倍」這個平衡的性質。
我們可以假設，如果存在兩條路徑l 和s ，l 比s 長兩倍以上（s 路徑上有n 個節點，l 上有大於2n 個節點）。可知，s 的黑高度最大只可能是n ，那麼根據第５條性質，l 的黑高度也大也只可能是n ，也就是，l 路徑上一定有超過n 個紅色節點（因為節點不是黑的就必 定是紅的）。所以，肯定會有兩個以上的紅色節點是相鄰的。這就與第４個條件矛盾了。所以，紅黑樹可以保證任何兩條從根部到樹葉的路徑節點個數相差不超過２ 倍。
紅黑樹的高度h<2lg(n+1) （這個在《演算法導論》13.1 節中有證明）。也就是說，紅黑樹的操作的時間複雜度是o(lgn) 的。
二叉搜尋樹的操作時間複雜度，取決於樹高h ，因此，我們當然就希望h 盡量地小以提高操作的效率。 從直觀上就可以發現，二叉搜尋樹各子樹的規模越平均，它的高度就會越小。所以在應用中，一般都會將二叉搜尋樹實現成一種平衡樹，以保證最差時間複雜度為o(lgn) 。紅黑樹就是其中的一種，應用得很廣泛（sgi stl 的 set 和 map 就是基於紅黑樹來實現， linux 核心中也用到這個資料結構
） 紅黑樹是二叉搜尋樹的一種。它與普通二叉搜尋樹不同的是，紅 黑樹的每個節點都附加了另乙個屬性――顏色，可以是紅色，也可以是黑色。通過對於每條路徑上節點顏色的規則進行限定，紅黑樹可以保證任何兩條從根部到樹葉 的路徑節點個數相差不超過２倍。所以，紅黑樹是一種近似平衡的二叉搜尋樹。
紅黑樹 的查詢、最大值、最小值、前趨、後繼等操作，與普通的二叉搜尋樹沒有什麼區別。插入和刪除操作需要重新實現。僅僅用普通的二叉搜尋樹的插入和刪除動作，可 能會破壞紅黑樹本身的一些性質，因此，需要進行額外的處理。這些額外的處理主要是改變樹節點的顏色，或是改變樹的結構。
樹的旋轉
改變樹的結構，主要是用旋轉。旋轉有兩種，左旋和右旋，下面 是這兩種旋轉的：
這種旋轉的操作，是在二叉搜尋樹的區域性對樹的結構進行調整的 一種方式，經過旋轉之後，二叉搜尋樹的性質是不會發生改變的。如下圖：
向紅黑樹插入節點，先將需要插入的節點著成紅色，用普通二叉 搜尋樹的方法將這個節點插入到樹中，然後再想辦法把被破壞的紅黑性質恢復。（將新插入的節點顏色著成紅色，呆以儘量減少對紅黑性質的破壞，恢復起來也容 易。因為插入紅色節點的話，那麼被破壞的部分會在區域性，考慮的問題也就比較少，恢復過程也容易形成遞迴，詳細見下文說明）
我們考慮下，如果乙個紅色節點（下文稱用 z
指向它）被插入到樹中，那麼有哪些紅黑性質可能被破壞呢？只有第 2
條（根節點是黑色的）以及第 4
條（紅色節點的子節點一定是黑色節點），其它都不會被破壞。
如果插入的節點的父節點是黑色的，那麼不需要做任何調整，這 紅黑樹是正常的。如果父節點是紅色，或沒有父節點（也就是插在了樹根的位置），那麼就要進行調整以保證紅黑樹是正確的。
首先對第 4
條進行分析，我們知道，插入乙個新的節點，這個節點肯定會被放到樹的底部成為乙個葉節點（參考普通二叉樹的插入過程），那麼這個紅色節點就沒有 可能和自己的子節點同色（因為葉節點的子節點是 nil
節點，都是黑色的），如果第 4
條被破壞的話，肯定是 z
指向的節點的父節點是紅色的。因此，為了使分析和解決更加容易和清晰，我們在對樹進行調整以恢復紅黑 特性時，始終使得 z
總是指向相鄰紅色的節點中的子節點（指標 z
可能會向上公升到樹的中部或根部）。基於這個做法，我們可以知道，如果是第 2
條被破壞了的話，也就是 z
指向根節點了，那麼第 4
條肯定就符合了（因為 z
的父節點是 nil
，黑色的），因此對第 2
條性質的恢復變得很簡單，只需要被根從紅色變為黑色即可。這時，所有性質都會被滿足了（因為是根節 點，所以根節點被著為黑色時，所有路徑都黑高會統一加 1
，也就是第 5
條不會被破壞，操作之後的紅黑樹仍然是正確的）。好了，現在只留下第 4
條性質的恢復的問題了。
如果第 4
條被破壞了，也就是說， z
的父節點是紅色的，那麼，說明， z
一定有祖父節點，而且是黑色的（否則插入前原樹就有問題，又 或是調整時的方法不正確）。因此可以把問題放到以 z
的祖父節點為根節點的子樹內進行解決，這樣可以把調整的範圍最 小化，而且這也是有可能的：只要不改變這子樹的黑高度，那麼就不會對樹的其它部分產生影響。我們要做的就是在這個子樹範圍內把紅黑性質調整回來。再看子樹 的根是否與其父節點同為紅色，是的話，就再次用前面所說的去解決它，一直向上遞迴到紅黑性質被恢復為止。
紅黑樹的節點插入
對第 4
條性質的恢復，根據 z
的父節點是 z
的祖節點的左子節點還是右子節點，分為兩組對稱的情況，每組有 3
種情況。下面我們只對其中一組進行說明，以 z
的父節點是 z
祖節點的左子節點為例：
第一種： z
的「叔父」節點是紅色。
如上圖所示，在這種情況下，將父、叔節點都著為黑色，再將子樹根節點著為紅色，那麼子樹的黑高度沒有發生改變，而且 紅黑性質得得到了調整。此時，再將 z
指向子樹的根節點，向上遞迴恢復紅黑特性。
第二種： z
的「叔父」節點是黑色的， z
的父節點的左子節點。
如上圖，將 z
的父節點與祖節點進行一次右旋，並把父節點著黑色，原來的祖節 點著紅色。這些子樹的紅黑特性得到了恢復，而且子樹的黑高度沒有變化。另外，由於子樹根節點已經是黑色了（這個節點不會出現父子同為紅色的問題了），所以 不必再向上遞迴了，此時整個樹的紅黑特性都已經是正確的了。
第三種： z
的「叔父」節點是黑色的， z
的父節點的右子節點。
如上圖，將 z
本身與其父節點進行一次左旋，讓 z
指向原來的父節點，就可以調整為情況二，而情況二已經得到解決。
這樣，紅黑樹的節點插入問題就得到了解決。
以上引自：
注 摘圖中第三種情況圖可能不對，右邊到了左邊
另附維基：
/** from clr */
private void fixafterinsertion(entryx) else
setcolor(parentof(x), black); // 因此這裡是將x父節點設黑
setcolor(parentof(parentof(x)), red); // 子樹根節點設紅
rotateright(parentof(parentof(x))); // 按子樹根節點右旋
}} else else
setcolor(parentof(x), black);
setcolor(parentof(parentof(x)), red);
rotateleft(parentof(parentof(x))); // 這裡的左旋是基於根節點的左大旋轉，與維基中的case5一致，不過只是鏡面對稱而已}}
}root.color = black;
}
紅黑樹（插入）
紅黑樹的插入操作相對刪除操作比較簡單。紅黑樹要滿足 任一節點至null的任何路徑，所含黑節點數必須相同。所以，為了滿足此性質，插入節點應該為紅色。如果插入節點的父親為黑色，則不需要進行調整，若為紅色，有三種情況需要討論。1.父節點為紅色，叔節點為紅色 對於這種情況，同時改變父 叔節點顏色為黑色，並將...
紅黑樹插入
一 什麼是紅黑樹 紅黑樹 red black tree 是一種自平衡二叉查詢樹，是在電腦科學中用到的一種資料結構，典型的用途是實現關聯陣列。紅黑樹是一棵二叉搜尋樹，它在每個結點上增加了乙個儲存位來表示結點的顏色，可以是red或black。一棵紅黑樹是滿足下面紅黑性質的二叉搜尋樹 1 每乙個結點或是紅...
紅黑樹 插入
一 滿足下面幾個條件的二叉搜尋樹，稱為紅黑樹 1.任何乙個節點都被著色 紅色或是黑色。2.根節點是黑色的。3.所有的nil節點都看成黑色 nil節點是就是乙個假想的或是無實在意義的節點，所有應該指向null的指標，都看成指向了nil節點。包括葉節點的子節點指標或是根節點的父指標 4.如果乙個節點是紅...