1 基本概念和術語
（ 1 ） 網路
g 是乙個簡單有向圖， g=(v,e) ， v= 。在 v 中指定乙個頂點 s ，稱為源 和另乙個頂點 t ，稱為匯 。有向圖 g 的每一條邊 (v,w) ∈ e ，對應有乙個值 cap(v,w)≥0 ，稱為邊的容量 。這樣的有向圖 g 稱作乙個網路 。
（ 2 ） 網路流
網路上的流 是定義在網路的邊集合 e 上的乙個非負函式 flow= ，並稱 flow(v,w) 為邊 (v,w) 上的流量 。
（ 3 ） 可行流
滿足下述條件的流 flow 稱為可行流 ：
① 容量約束 ： 對每一條邊 (v,w) ∈ e ， 0≤flow(v,w)≤cap(v,w) 。
② 平衡約束 ：
對於中間頂點：流出量 = 流入量。
即對每個 v ∈ v(v≠s,t) 有：頂點 v 的流出量－頂點 v 的流入量 =0 ，即
對於源 s ： s 的流出量－ s 的流入量 = 源的淨輸出量 f ，即
對於匯 t ： t 的流入量－ t 的流出量的 = 匯的淨輸入量 f ，即
式中 f 稱為這個可行流的流量，即源的淨輸出量 ( 或匯的淨輸入量 ) 。可行流總是存在的。
例如，讓所有邊的流量 flow(v,w)=0 ，就得到乙個其流量 f=0 的可行流 ( 稱為 0 流 ) 。
（ 4 ） 邊流
對於網路 g 的乙個給定的可行流 flow ，將網路中滿足 flow(v,w)=cap(v,w) 的邊稱為飽和邊 ； flow(v,w)0 的邊稱為非零流邊 。當邊 (v,w) 既不是一條零流邊也不是一條飽和邊時，稱為弱流邊 。
（ 5 ） 最大流
最大流問題即求網路 g 的乙個可行流 flow ，使其流量 f 達到最大。即 flow 滿足：0≤flow(v,w)≤cap(v,w) ， (v,w) ∈ e ；且
（ 6 ） 流的費用
實際應用中，與網路流有關的問題，不僅涉及流量，而且還有費用的因素。此時網路的每一條邊 (v,w) 除了給定容量 cap(v,w) 外，還定義了乙個單位流量費用 cost(v,w) 。對於網路中乙個給定的流 flow ，其費用定義為：
（ 7 ） 殘流網路
對於給定的乙個流網路 g 及其上的乙個流 flow ，網路 g 關於流 flow 的殘流網路 g* 與 g 有相同的頂點集 v ，而網路 g 中的每一條邊對應於 g* 中的 1 條邊或 2 條邊。
設 (v,w) 是 g 的一條邊。
當 flow(v,w)>0 時，（ w,v ）是 g* 中的一條邊，該邊的容量為 cap*(w,v)=flow(v,w) ；
當 flow(v,w)增廣路演算法
1 演算法基本思想
設p是網路g中聯結源s和匯t的一條路。定義路的方向是從s到t。將路p上的邊分成2類：一類邊的方向與路的方向一致，稱為向前邊 。向前邊的全體記為p+。另一類邊的方向與路的方向相反，稱為向後邊 。向後邊的全體記為p-。
設flow是乙個可行流，p是從s到t的一條路，若p滿足下列條件：
（1）在p的所有向前邊(v,w)上，flow(v,w)0，即p-中的每一條邊都是非零流邊。
則稱p為關於可行流flow的一條可增廣路 。
可增廣路是殘流網路中一條容量大於0的路。
將具有上述特徵的路p稱為可增廣路是因為可以通過修正路p上所有邊流量flow(v,w)將當前可行流改進成乙個流值更大的可行流。
增流的具體做法是：
（1）不屬於可增廣路p的邊(v,w)上的流量保持不變；
（2）可增廣路p上的所有邊(v,w)上的流量按下述規則變化：
· 在向前邊(v,w)上，flow(v,w)+d；
· 在向後邊(v,w)上，flow(v,w)-d。
按下面的公式修改當前的流。
其中d稱為可增廣量，可按下述原則確定：d取得盡量大，又要使變化後的流仍為可行流。按照這個原則，d既不能超過每條向前邊(v,w)的cap(v,w)-flow(v,w)，也不能超過每條向後邊(v,w)的flow(v,w)。因此d應該等於向前邊上的cap(v,w)-flow(v,w)與向後邊上的flow(v,w)的最小值。也就是殘流網路中p的最大容量。
增廣路定理 ：設flow是網路g的乙個可行流，如果不存在從s到t關於flow的可增廣路p，則flow是g的乙個最大流。
動畫演示一：
動畫演示二：
最大網路流
求網路流有很多演算法，這幾天學習了兩種，記錄一下ek演算法。首先是網路流中的一些定義 v表示整個圖中的所有結點的集合.e表示整個圖中所有邊的集合.g v,e 表示整個圖.s表示網路的源點,t表示網路的匯點.對於每條邊 u,v 有乙個容量c u,v c u,v 0 如果c u,v 0，則表示 u,v ...
最大網路流
圖中有兩個點源結點s和匯點t。源結點是網路流的起點，匯點是流的終點 給定乙個流網路g 乙個源結點s 乙個匯點t，找到值最大的乙個流 定義 出發點為源點，接受流量 的匯聚點為匯點，邊上的權值為可以流過的最大值 殘存網路gf 由仍可以對流量進行增加 減少的邊構成 流過的量不超過容量的邊 包含原圖中的邊，...
最大網路流問題
參考博文 之前參加阿里巴巴的筆試碰到一最大網路流的題目。因為之前沒有看過這類演算法，所以還是自然沒做出。今天抽空看了看。了解了下基本概念和求解流程。這裡簡單總結下。本圖示最大流的乙個例項。由此，可以引出最大流的一些基本的定義和概念 可以這樣看，圖就是一種管道，管道有最大通過流量的限制，圖中邊的權值就...