火車運煤問題

這個題的解答並不難，有很多網友都給出了答案，但是想說清楚道

理還是比較繞彎。如果想做程式設計做模擬，**很簡單，但是一些邊界條件、中間過程都很繞，所以把這個不是程式設計題的程式設計題放在這裡解答一下，供參考。

根據題意可知有三種運輸方式，分別是成本為5，成本為3，成本為1. 下面簡稱t5，t3，t1.

首先給出最優策略1：用完所有能源，也就是運到終點的能源 + 路上消耗的能源=3000。否則，不論剩餘多少能量，我們總可以後退一點，再多裝一些，按照三種運輸方式之一，多運一點能量到終點。

下面引入運輸能力這個概念：

以t3舉例，從起點向終點方向走2趟，最大可裝載2000，運到距離為delta的某點之後，最大剩餘2000-delta，因此稱t3的運輸能力c3 = 2000-delta <= 2000，(delta >= 0)。也就是說，t3最多能運送不超過2000的能量，超過2000就有剩餘能量.

同理t5的運輸能力c5 = 3000-delta <= 3000，t1的運輸能力c1 = 1000 - delta <= 1000.

這樣，我們就得出最優策略2：在運輸能力範圍內，選用成本最低的方式。用r表示剩餘未被運輸的能量樣，由策略1和策略2可知最優的運送方式：

2000 <= r <= 3000, 用t5方式

1000 <= r <= 2000, 用t3方式

0 <= r <= 1000, 用t1方式

即，先用t5消耗1000，剩餘2000之後用t3方式再消耗1000，最後用t1方式運輸餘下能量。因此最優解為：

t5: 運輸距離 x = 1000/5 = 200

t3: 運輸距離 y = 1000/3 = 333.333

t1: 運輸距離 z =1000 - x - y = 466.667

運送到終點的最大能量 = 1000 - 466.667 = 533.333

證畢.進一步推廣：

首先簡化上面的計算過程：

最大能量 = 1000 - z = 1000 - (1000 - x - y) = x + y = 1000 * (1/3 + 1/5).

現在有初始能量x（假設x可被1000整除，否則可以同理做推廣），按照最優策略1和2可得：

最大需要的運輸能力的方式tmax=x/1000 * 2 - 1

所以，能夠運輸的最大能量 = 1000 * (1/3 + 1/5 + ... + 1/tmax)

用歸納法很容易證明此結論。

因為1/3+1/5+1/7+...是發散的，理論上可以運送任意初始能源x，但是考慮到單程最大能力為1000，所以只要x比1000多一點，就可以用t3方式先運送一點，剩餘採用t1，因此，約束條件為x > 1000.

最後提個問題，如果希望能夠賣到集市上1000噸煤，那麼最少需要初始有多少噸？

你才山西煤老闆！！！