bolg
設g為乙個元素的集合，稱g內的元素為元，*為針對g這個集合的元素的運算，當（g
，∗） （g，
∗）
滿足以下要求的時候，我們稱（g
，∗） （g，
∗）
為群封閉性：g內的任何兩個元的*運算的結果仍在g內
交換律：a∗
（b∗c
）=（a
∗b）∗
c a∗（
b∗c）
=（a∗
b）∗c
單位元：任何a∗
e=a a∗e
=a
逆元：a∗a
−1=ea∗
a−1=
e
比如：g=有限群的階 |g|：g的元素的數量,a∗b
=(a+
b)%ng=
,a∗b
=(a+
b)%n
那麼封閉性和交換律顯然符合要求，而單位元為0，a(a!=0)的逆元為n-a，0的逆元為0，那麼我們就稱（g
，∗） （g，
∗）
為群
有點像遊戲裡面各種屬性的克制置換
π π
表示g中每個元素在一次變換後的下乙個狀態
置換的運算符號記作「⋅
」 「·」
表示方法一：矩陣π
= π
=表示x
1 x
1的下乙個狀態為y1
y
1，x2
x
2的下乙個狀態為y2
y 2……
表示方法二：迴圈節
假設有置換 π=
π
=，那麼就可以用（1,2,3）來表示
而(1,2,3)(3)表示1->2，2->3，3->3c(
π)c (π
)表示置換
π π
的迴圈節的個數
置換群不是某種帶有置換屬性的群，而是群的元素為置換設g為有限集x上的置換的集合，若g滿足群的定義，則(g
，⋅) (g，
·)
被稱為乙個置換群。
一：等價
如果元素a在某個置換
π π
的作用下變成了b，則a與b等價，記作a~b
二：等價類&軌跡
g的乙個元素在置換的作用下會變成下乙個元素，下乙個元素也有下乙個元素，一直變換下去就會形成一條路徑，我們形象的稱之為g的軌跡，軌跡上的元素稱為乙個等價類。顯然兩條軌跡不會相交。
a的等價類表示所有a可以變換到（可能不止一步）的元素的集合，記作 ea
e
a等價類的數量記作「l
」 「l」
，而大多數題目都需要求這個l。
三：不動置換類（置換的類）
對於某個元素a，所有滿足a->a的置換的集合，稱為a的不動置換類，記作 za
z
a四：不動點集（元素的類）
對於某個置換
π π
，所有滿足在這個置換下不變的元素的集合，稱為
π π
的不動點集，記作 c(
π)c (π
)
若π=(123)(
3)(45
)(6)
(7) π=(
123)(3
)(45)
(6)(
7)
,x= x
=,則c
(π)=
3,6,
7 c(π
)=3,
6,
7共3個元素。
置換群的習題
題意 給定n,s n,sn,s和排列a1,a2 an a 1,a 2 dots,a n a1 a2 a n 若置換ps ap s a ps a 求置換ppp。考慮先找到排列a aa的迴圈節len lenle n，即a aa置換len s l en len s len len s len次能得到p p...
置換群 等價類計數
一.定義 群 群是啥？我不會啊 乙個置換是一種運算，代表讓物體交換位置的一種方法 顧名思義，由置換構成的群 使元素 k 不改變位置的群的集合 在置換群 g 作用下元素 k 的運動軌跡 一些點的集合 在置換 g 作用下產生的迴圈 e k times z k g 證明 不會 l frac sum c i...
奶牛排序 cow sort 置換群
農夫john準備把他的 n 1 n 10,000 頭牛排隊以便於行動。因為脾氣大的牛有可能會搗亂，john想把牛按脾氣的大小排序。每一頭牛的脾氣都是乙個在1到100，000之間的整數並且沒有兩頭牛的脾氣值相同。在排序過程中，john可以交換任意兩頭牛的位置。因為脾氣大的牛不好移動，john需要x y...