前面一篇博文寫了歸併排序的演算法實現，雖然做了些注釋，但沒有寫歸併排序的原理，這篇就補上，同時對歸併所隱含的思想做乙個**。
1）歸併排序的原理
為了便於說明，這裡我們提到的已排好序的序列都是指從小到大的公升序(對於降序其實原理是一樣的。
假設有兩個已排好序的序列a,b:
a:a1≤a2≤a3≤...≤an (i:1~n為下標);
b:b1≤b2≤b3≤...≤bm(j:1-m為下標);
如果我們要對a，b進行合併為c，並使得序列c是排好序的,這種情況下就很簡單了，我們只要取兩個序列的開頭進行比較，誰小就取誰，相等任意取乙個。然後對剩下的序列繼續按照上述原則進行，直到兩個序列都取完。比如：
開始：a： b: c{} ......a的第乙個元素2小於b的第乙個元素3，則a的第乙個元素2入c:
①:a: b c ......a的第乙個元素5大於b的第乙個元素3，則b的第乙個元素3入c:
②:a: b c ......a的第乙個元素5小於b的第乙個元素6，則a的第乙個元素5入c:
③:a: b c ......a的第乙個元素7大於b的第乙個元素6，則b的第乙個元素6入c:
④:a: b c ......a的第乙個元素7小於b的第乙個元素8，則a的第乙個元素7入c:
⑤:a: b c ......a的第乙個元素9大於b的第乙個元素8，則b的第乙個元素8入c:
⑥:a: b{} c ......b為空，則把a依次放入c（同理如果a先為空則依次將剩餘的b放入c）:
⑦:a:{} b{} c .....排序合併完
上述的過程其實就是歸併排序的名稱得來，對於已經排好序的序列a(n),b(m),其合併排序時間為t(k)=m+n,屬於θ(n)級，是相當快的，但問題是，我們需要排序的序列p(n)未必都是剛好是排好序的兩個段(p1[1~m]和p2[m+1~n],而且就是已排好序，你還得去找這個分割點m.那是不是上面講的這些都白講了呢？當然不是，這個歸併的優勢需要結合其它的策略才行。
2）歸併排序所蘊含的思想
我們利用歸納法的思想，來思考一下上面所遇到的問題（歸納和演繹是兩種非常基本，也非常重要的方法或思想）。
我們從n=1開始分析：
a)如果序列只有乙個元素，即n=1，那麼歸併不存在任何問題;
b)如果序列有2個元素,n=2，利用歸併也不存在任何問題，因為m為1，p1[1-1],p2[2-2]兩個段顯然都是排好序的序列，而且m也很好找，就可以進行歸併，也沒問題；
c)如果序列有三個元素，n=3,有兩種情況：p1[1-1],p2[2-3]和p1[1-2],p2[3-2],這兩種情況其實是等價的（其實就是乙個段2個元素，乙個段1個元素），我們只需要分析一種情況即可。對於只有乙個元素的段，我們是可以知道其是排序的，而對於有兩個元素的段，就不能確定了，顯然也沒辦法進行歸併，但在這裡，我們從b可以知道，p2[2-3]本身是可以進行歸併的，如果我們先對其進行歸併排序，那麼p1和p2就可以進行歸併了。
d）從c並結合遞迴的思想，我們發現，對於任意序列p(n),我們總可以對其進行分割，如果分割的兩個段不能歸併，我們可以分別對兩個段各自分割，通過這種方法，我們最終可以將p(n)分割成n個片段，每個片段只包含1個元素，然後兩兩歸併最終完成整個序列的歸併排序，這其實就是二分法。通過二分法，我們可以將p(n)做如下分割：
如上圖所示，進行二分後，會形成一棵樹，每一級的元素個數總數為n,那麼每一級的歸併t(n)都是θ(n),而深度（樹的深度），通過右邊深度很容易得出是lg(n)，那麼整個歸併過程的t(k) =lgk*θ(k)=θ(lgk*k)(k就是n這裡為了顯示清楚).我們知道插入排序(insertionsort)的t(k)=θ(k^2),lgk3）歸併排序的延伸性思考
歸併排序採用二分法縮小排序規模，從而利用已排序序列歸併演算法以實現排序加速。而縮小規模的最基本方法就是n分法（n>1)，二分法是最簡單的，當然還有三分法，甚至是n分法，但並不是n越大越好，至於分的時候如何取n,就要看n本身是不是最基本的，對於本例來說，n=2的時候顯然可行，對於n=3，那麼我們需要對3個序列進行歸併排序，每個段的元素（小於等於3個）本身也要排序。（其實歸併時候的排序本身就是乙個插入排序，而且它是插入排序最理想的情況）。
我們可以觀察更為一般的情況，設規模n=k^m【注意這裡是為了簡化運算，最後會代換回到一般情況】,我們採用k分法,n=k，對於第i級(i=1..m):
有k^(i-1)個片段，每個片段元素數量為k^m/(k^(i-1)=k^(m-i+1)=ni個元素;但每級元素總數不變，為k^m個.相當於每次從k個元素中取1個最小的，其t(n)=k-1,則一級歸併時間是：(k^m * （k-1）),則整體時間為t(n)=(m * k^(m) *（k-1)).因為m=log(k,n),帶入上式:t(n)=log(k,n)*k^log(k,n)*(k-1)=log(k,n)*n*(k-1)=(k-1)log(k,n)*n.從這個表示式可以看出，隨著k變大,雖然log(k,n)可以降低速度,但k卻會增加速度。k=2為：lgn * n,k=3時t(n)=2*log(3,n)*n,n=n時,t(n)=(n-1)*n=θ(n^2),在n分時其實就是插入排序時間複雜度.
上面的情況中我們假設了規模n=k^m,m不一定會是整數，但這個並不影響時間複雜度的判斷，原因大家可自己分析。
總結：歸併排序利用對於已排序的序列進行排序的最理想情況，並結合n分法思想解決問題，提高效率。n分法思想是降低規模常用的手段，在演算法中非常重要，比如查詢樹之類的(更進一步講，這就是演算法中的分治策略的一種）。一般情況下，二分法就足夠了，但在很多規模n非常大的情況下，3分法甚至更高的分法還是有用，不過隨著n加大，演算法處理的複雜度本身也會加大，因此必須綜合權衡。
上述的n分法θ時間表示式是我推理出來的，實際情況中每個分段得元素不太可能正好是相等的，每個片段的元素其實可能在1..ni中，但我考慮最大情況，就不會影響最後的結論，因為實際情況只可能比考慮的情況好。如果大家覺得上述推理有不妥之處，還望大家指正。
（具體二分法歸併，可參見前面的博文）
後記：晚上繼續看公開課的第2-3集，看完之後真的汗，別人那是有數學支撐的，雖然我的推論結果是對的，但對於漸進符號，遞迴解法早就忘了，而我上面說的n分法只是分治策略的一種，看來還是要正規學習。
另外歸併排序的遞迴表示式為：t(n)=2t(n/2)+θ(c)=θ(nlgn). 其中2表示二分分治後需要處理的策略數。那麼對於k分法同樣可以表達為(t(n)=kt(n/k)+θ(c). 大家注意這是k分法的最壞情況，有的時候雖然是k分後，但需要處理的策略並不是等於k，而是小於等於k.比如二分查詢的時間遞迴表示式就是t(n)=t(n/2)+θ(c)=θ(lgn).
歸併排序 Merge sort
merge the a s.m and a m 1.t to r s.t template void two merge typet a,typet r,int s,int m,int t while i m r k a i while j t r k a j merge the a 0.n 1 s...
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