Python之numpy 線性代數

linalg=linear+algebra，norm則表示範數，首先需要注意的是範數是對向量（或者矩陣）的度量，是乙個標量（scalar）：

這裡只對常用設定進行說明，x表示要度量的向量，ord表示範數的種類，

範數理論的乙個小推論告訴我們：ℓ1≥ℓ2≥ℓ∞

x = np.array([[1., 2., 3.], [4., 5., 6.]])

print(x)  #[[1. 2. 3.]
#[4. 5. 6.]]
y = np.array([[6., 23.], [-1, 7], [8, 9]]) 
print(y)  #[[ 6. 23.]
#[-1.  7.]
#[ 8.  9.]]
print(x.dot(y))  # 相當於np.dot(x,y)
#[[ 28.  64.]
#[ 67. 181.]]

x = np.array([[1,2],[3,4]])

print(x)  #[[1 2]
#[3 4]]
print(x.t)  #x的轉置
#[[1 3]
#[2 4]]
print(x.t.dot(x)) #x的轉置乘以x
#[[10 14]
#[14 20]]
print(np.linalg.inv(x.t.dot(x)))  #求逆
#[[5. - 3.5]
#[-3.5  2.5]]

# numpy.linalg中的函式solve可以求解形如 ax = b 的線性方程組，其中 a 為矩陣，b 為一維或二維的陣列，x 是未知變數

import numpy as np
#建立矩陣和陣列
b = np.mat("1 -2 1;0 2 -8;-4 5 9")
b = np.array([0,8,-9])
# 呼叫solve函式求解線性方程
x = np.linalg.solve(b,b)
print (x)  #[ 29. 16. 3.]
# 使用dot函式檢查求得的解是否正確
print (np.dot(b , x))  # [[ 0. 8. -9.]]

# 特徵值（eigenvalue）即方程 ax = ax 的根，是乙個標量。其中，a 是乙個二維矩陣，x 是乙個一維向量。特徵向量（eigenvector）是關於特徵值的向量

# numpy.linalg模組中，eigvals函式可以計算矩陣的特徵值，而eig函式可以返回乙個包含特徵值和對應的特徵向量的元組
import numpy as np
# 建立乙個矩陣
c = np.mat("3 -2;1 0")
# 呼叫eigvals函式求解特徵值
c0 = np.linalg.eigvals(c)
print (c0)
# [ 2. 1.]
# 使用eig函式求解特徵值和特徵向量 (該函式將返回乙個元組，按列排放著特徵值和對應的特徵向量，其中第一列為特徵值，第二列為特徵向量)
c1,c2 = np.linalg.eig(c)
print (c1)  # [ 2. 1.] 
print (c2)
#[[ 0.89442719 0.70710678]
# [ 0.4472136 0.70710678]]
# 使用dot函式驗證求得的解是否正確
for i in range(len(c1)):
print ("left:",np.dot(c,c2[:,i]))
print ("right:",c1[i] * c2[:,i])
#left: [[ 1.78885438]
# [ 0.89442719]]
#right: [[ 1.78885438]
# [ 0.89442719]]
#left: [[ 0.70710678]
# [ 0.70710678]]
#right: [[ 0.70710678]
# [ 0.70710678]]

# svd（singular value decomposition，奇異值分解）是一種因子分解運算，將乙個矩陣分解為3個矩陣的乘積

# numpy.linalg模組中的svd函式可以對矩陣進行奇異值分解。該函式返回3個矩陣——u、sigma和v，其中u和v是正交矩陣，sigma包含輸入矩陣的奇異值。
import numpy as np
# 分解矩陣
d = np.mat("4 11 14;8 7 -2")
# 使用svd函式分解矩陣
u,sigma,v = np.linalg.svd(d,full_matrices=false)
print ("u:",u)
#u: [[-0.9486833 -0.31622777]
# [-0.31622777 0.9486833 ]]
print ("sigma:",sigma)
#sigma: [ 18.97366596 9.48683298]
print ("v",v)
#v [[-0.33333333 -0.66666667 -0.66666667]
# [ 0.66666667 0.33333333 -0.66666667]]
# 結果包含等式中左右兩端的兩個正交矩陣u和v，以及中間的奇異值矩陣sigma
# 使用diag函式生成完整的奇異值矩陣。將分解出的3個矩陣相乘
print (u * np.diag(sigma) * v)
#[[ 4. 11. 14.]
# [ 8. 7. -2.]]

# 使用numpy.linalg模組中的pinv函式進行求解,

# 注：inv函式只接受方陣作為輸入矩陣，而pinv函式則沒有這個限制
import numpy as np
# 建立乙個矩陣
e = np.mat("4 11 14;8 7 -2")
# 使用pinv函式計算廣義逆矩陣
pseudoinv = np.linalg.pinv(e)
print (pseudoinv)
#[[-0.00555556 0.07222222]
# [ 0.02222222 0.04444444]
# [ 0.05555556 -0.05555556]]
# 將原矩陣和得到的廣義逆矩陣相乘
print (e * pseudoinv)
#[[ 1.00000000e+00 -5.55111512e-16]
# [ 0.00000000e+00 1.00000000e+00]]

# numpy.linalg模組中的det函式可以計算矩陣的行列式

import numpy as np
# 計算矩陣的行列式
f = np.mat("3 4;5 6")
# 使用det函式計算行列式
print (np.linalg.det(f))  # -2.0

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