字串匹配的KPM演算法

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字串匹配是計算機的基本任務之一。

舉例來說，有乙個字串"bbc abcdab abcdabcdabde"，我想知道，裡面是否包含另乙個字串"abcdabd"？

許多演算法可以完成這個任務，knuth-morris-pratt演算法（簡稱kmp）是最常用的之一。它以三個發明者命名，起頭的那個k就是著名科學家donald knuth。

這種演算法不太容易理解，網上有很多解釋，但讀起來都很費勁。直到讀到jake boxer的文章，我才真正理解這種演算法。下面，我用自己的語言，試圖寫一篇比較好懂的kmp演算法解釋。

首先，字串"bbc abcdab abcdabcdabde"的第乙個字元與搜尋詞"abcdabd"的第乙個字元，進行比較。因為b與a不匹配，所以搜尋詞後移一位。

因為b與a不匹配，搜尋詞再往後移。

就這樣，直到字串有乙個字元，與搜尋詞的第乙個字元相同為止。

接著比較字串和搜尋詞的下乙個字元，還是相同。

直到字串有乙個字元，與搜尋詞對應的字元不相同為止。

這時，最自然的反應是，將搜尋詞整個後移一位，再從頭逐個比較。這樣做雖然可行，但是效率很差，因為你要把"搜尋位置"移到已經比較過的位置，重比一遍。

怎麼做到這一點呢？可以針對搜尋詞，算出一張《部分匹配表》（partial match table）。這張表是如何產生的，後面再介紹，這裡只要會用就可以了。

已知空格與d不匹配時，前面六個字元"abcdab"是匹配的。查表可知，最後乙個匹配字元b對應的"部分匹配值"為2，因此按照下面的公式算出向後移動的位數：

移動位數 = 已匹配的字元數 - 對應的部分匹配值

10.11.

因為空格與a不匹配，繼續後移一位。

12.逐位比較，直到發現c與d不匹配。於是，移動位數 = 6 - 2，繼續將搜尋詞向後移動4位。

13.14.

下面介紹《部分匹配表》是如何產生的。

首先，要了解兩個概念："字首"和"字尾"。 "字首"指除了最後乙個字元以外，乙個字串的全部頭部組合；"字尾"指除了第乙個字元以外，乙個字串的全部尾部組合。

"部分匹配值"就是"字首"和"字尾"的最長的共有元素的長度。以"abcdabd"為例，

－　"a"的字首和字尾都為空集，共有元素的長度為0；

－　"ab"的字首為[a]，字尾為[b]，共有元素的長度為0；

－　"abc"的字首為[a, ab]，字尾為[bc, c]，共有元素的長度0；

－　"abcd"的字首為[a, ab, abc]，字尾為[bcd, cd, d]，共有元素的長度為0；

－　"abcda"的字首為[a, ab, abc, abcd]，字尾為[bcda, cda, da, a]，共有元素為"a"，長度為1；

－　"abcdab"的字首為[a, ab, abc, abcd, abcda]，字尾為[bcdab, cdab, dab, ab, b]，共有元素為"ab"，長度為2；

－　"abcdabd"的字首為[a, ab, abc, abcd, abcda, abcdab]，字尾為[bcdabd, cdabd, dabd, abd, bd, d]，共有元素的長度為0。

"部分匹配"的實質是，有時候，字串頭部和尾部會有重複。比如，"abcdab"之中有兩個"ab"，那麼它的"部分匹配值"就是2（"ab"的長度）。搜尋詞移動的時候，第乙個"ab"向後移動4位（字串長度-部分匹配值），就可以來到第二個"ab"的位置。

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