研究隨機問題時，基本都要用到抽樣**，比較**結果與實驗結果的偏差。
設隨機變數的均值為
μ μ
，方差為 σ2
σ
2，則
n n
個樣本的均值為
μ' role="presentation" style="position: relative;">μ
μ，方差為 σ2
n σ2n
。在給定的置信水平 1−
α 1−α
下， 設樣本的均值為 x¯
¯¯¯ x
¯，其誤差
ε ε
由下列計算公式得出： ε=
|x¯¯
¯¯−μ
| ε=|
x¯−μ
|1. 若
σ σ
已知由於中心極限定理，大量樣本服從正態分佈，樣本的標準差為 σ/
n−−√
σ /n
，根據正態分佈概率的計算公式， φ(
|x¯¯
¯¯−μ
|σ/n
−−√)
=α/2
φ (|
x¯−μ
|σ/n
)=α/
2因此， ε=
|x¯¯
¯¯−μ
|=zα
/2σn
−−√ ε=|
x¯−μ
|=zα
/2σn
可以推出樣本容量
n n
的計算公式為： n=
zα/2
2σ2ε
2' role="presentation" style="text-align: center; position: relative;">n=z
2α/2
σ2ε2
n=zα
/22σ
2ε22. 若
σ σ
未知大部分情況下
σ σ
是未知的，為了消除
σ σ
的影響，有學者引入了
t t
分布，t=
x¯−μ
s/n' role="presentation" style="text-align: center; position: relative;">t=x
¯¯¯¯
−μs/
n−−√
t=x¯
−μs/
n上面這個表示式為 自由度為 n−
1 n−1
的 t t
分布，其中
s' role="presentation" style="position: relative;">s
s為樣本方差，則 ε=
|x¯¯
¯¯−μ
|=tα
(n−1
)sn−
−√ε =|
x¯−μ
|=tα
(n−1
)s
n得到
n n
的計算公式為： n=
tα2(
n−1)
s2ε2
' role="presentation" style="text-align: center; position: relative;">n=t
2α(n
−1)s
2ε2n
=tα2
(n−1
)s2ε
2在樣本容量
n>
30 n
>
30時，置信水平
α<
0.05
α
<
0.05
時，一般可以近似採用下面的計算公式：n=
4s2ε
2 n=4
s2ε2
若樣本容量實在很小，則採用 「試差法」 確定
n n
.參考資料：
1. 2.
統計學 小樣本容量置信區間
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