上課時給學生講到遞迴實現的缺陷時，舉過下面的例子：
使用遞迴方法來計算組合數：
從m個不同元素中，任取n(n≤m)個元素並成一組，叫做從m個不同元素中取出n個元素的乙個組合；從m個不同元素中取出n(n≤m)個元素的所有組合的個數，叫做從m個不同元素中取出n個元素的組合數。
公 式： c(m,n)=n!/((m-n)!*n!)（n≤m）
性 質：c(m,n)= c(m,m-n) --可以推導出--》 c(m,0) = c(m,m) = 1
c(m,n)=c(m-1,n-1)+c(m-1,n)
請使用遞迴的方法來計算組合數。
使用遞迴的方法很簡單，使用我們之前講過的遞迴的原則：
如上圖，當我們來計算c(6,4)時，我們需要計算c(5,3)和c(5,4),而計算c(5,3)又要計算c(4,2)和c(4,3),依次 類推。
我們發現這裡有大量的重複預算。這也就是為什麼遞迴在時間和空間(遞迴要開闢棧空間)上有大量的資源消耗。
那麼問題來了，我們需要怎麼來優化？
根據上一章所講的內容，我們可以嘗試用迴圈來優化遞迴。這裡我們使用另一種方法,dp(dynamical programming),也就是動態規劃的方法來優化。
我們考慮：這裡有很多中間結果被反覆計算，從而引起了時間和空間上(遞迴需要分配棧空間)的浪費，
所以我們可以考慮將計算的中間結果記錄在某處，然後當再次需要這個結果時，從已經計算的結果中來查詢，從而得到結果，
這樣在時間上可以節省大量的成本，當然，空間上則需要一定輔助空間。
按照這個思路，我們嘗試用一張大的表來有序的儲存中間結果。
如下圖，我們讓行對應m，讓列對應n，這樣我們根據c(m,0) = c(m,m) = 1，可以將下標中
的黑色區域填上初始值1；
然後根據性質：c(i,j)=c(i-1,j-1)+c(i-1,j)
我們找到了計算出c(i,j)的方法，所以在計算c(5,2)
時可以使用c(4,1)+c(4,2)=4+6=10
依次類推：
我們可以計算出表中的c(m,n)；
於是，有了下面的演算法2(dynamical programming)實現：
import math
import time
def combinationnum2(m,n):
#arr = [[0]*m]*n # row m, coloumn n
t1 = time.time()
mylist = [([0] * (n+1)) for i in range(m+1)]
#print(mylist)
for i in range(0, m-n+1):
mylist[i][0] = 1
for i in range(0,n+1):
mylist[i][i] = 1
#print(mylist)
for j in range(1, n+1):
for i in range(j+1, m-n+j+1):
mylist[i][j] = mylist[i-1][j-1]+mylist[i-1][j]
#print(mylist)
print("combinationnum2 costed %f seconds"%(time.time()-t1))
return mylist[m][n]
#return combinationnum(m-1,n-1)+ combinationnum(m-1,n)
這裡我們就是乙個使用dp的思想來優化遞迴的案例。
# 當然，我們可以從數學公式的角度來解決這個問題，**如下：
def combinationnum3(m,n):
t1 = time.time()
result = math.factorial(m)/(math.factorial(m-n)*math.factorial(n))
print("combinationnum3 costed %f seconds"%(time.time()-t1))
return result
# 測試**：
m = int(raw_input("please input m:"))
n = int(raw_input("please input n:"))
print(combinationnum2(m, n))
print(combinationnum3(m, n))
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