二分寫法總結

二分答案

浮點數二分

首先二分的思想不難，問題在於整數二分的時候如果沒有處理好二分的區間，會導致死迴圈的情況，比如下面這種二分求上界的寫法

int
binarysearch
(int l,
int r)
return l;
}

這樣寫到最後二分的區間是[l, l+1)，且如果check(l)返回的是true，那麼將會陷入死迴圈，因為這時候mid始終等於l。

其次二分應用的情況很多，對於每種情況，寫法也會不同，所以在這裡總結下對於各種情況二分的寫法

二分查詢也有很多情況，例如在有序陣列中找某乙個數（記為a）的位置，如果只有乙個數，那直接返回這個數的位置就好了，但是如果存在好幾個相同的該數字，二分又可以分為找第乙個出現的位置（即陣列中第乙個大於等於a的數的位置）或者最後乙個出現的位置（即第乙個大於a的數的位置的前一位），這兩種就是所謂的下界和上界，這兩種我們放到二分答案的情況裡說明

這裡我們先看每種數只有乙個的情況，假設a陣列元素嚴格遞增

int
binarysearch
(int
*a,int l,
int r,
int key)
//key是我們要找的數
return-1
;}

這就是最簡單的二分了，我們來具體看看它的計算過程

首先該寫法它的 l 和 r，即我們二分的區間的左右端點，它是保證要找的數在[l, r)裡的，也就是區間左端點可能是我們要找的數，而區間右端點不可能是

當區間中點mid偏小時，l = mid + 1，二分區間變成[mid + 1, r)，如果該數字存在，必定還在該區間內；

如果mid偏大，r = mid，mid不可能是我們要找的數，而r端點本來就不會是答案，所以可以這麼寫

所以每次二分區間[l, r)，區間必定會縮小，不可能死迴圈，最後一次判定時（如果一直沒找到該數），區間變成[l, l + 1)，這時候mid = l，如果mid還不等於我們要找的數，區間就會縮小到 l == r ，便退出了迴圈，返回-1表示沒找到

雖然該寫法沒什麼大問題，而且比較簡潔，但是我們需要注意：

二分答案是資訊學競賽中一種常用的技巧，首先我們要搞明白什麼情況下可以二分答案

當我們的答案具有連續性，單調性的時候，我們就可以二分答案，那什麼叫答案具有連續性呢？即可能的答案區間 [l, r] 中，x假如可能是答案，那麼x - 1，x + 1可能也是答案；

什麼叫單調性呢？即當x越來越大，就會越來越難以/容易滿足題目要求

二分答案的過程往往會涉及到求答案的上、下界

所謂上下界，即假設我們二分的潛在答案區間為[l, r], 假設可行的答案區間為[l, r]，那麼l就是下界，r就是上界，即答案區間的左右端點，往往分別對應著最少/小和最多/大

當我們設定二分潛在的答案區間為左閉右開的時候，即 [l, r)，最終得到的 l 就是答案的上界，因為這時候 l 的右側答案都已經不符合要求，l必定是答案中最大的了

int
upperbound
(int l,
int r)
return l;
}

迴圈結束後區間大小就是1，即 [l, l+1)，最終答案就是l

但是這樣的寫法需要注意以下3點：

初始二分的潛在的答案區間的右端點r要設定成比最大可能答案大，因為r不會被訪問到

還是 l + r 可能溢位

如果題目說了可能沒有答案，最後需要檢查下 l，因為可能二分的區間裡沒有答案，每次迴圈都是 r = mid，最終的l沒有被檢查過

當我們設定二分潛在的答案區間為左開右閉的時候，即 (l, r]，最終得到的 r 就是答案的下界，因為這時候 r 的左側答案都已經不符合要求，r必定是答案中最小的了

int
lowerbound
(int l,
int r)
return r;
}

同樣的我們也需要注意以下三點：

初始二分的潛在的答案區間的左端點l要設定成比最小可能答案大小，因為l不會被訪問到

還是 l + r 可能溢位

如果題目說了可能沒有答案，最後需要檢查下 r，因為可能二分的區間裡沒有答案，每次迴圈都是 l = mid，最終的r沒有被檢查過

浮點數二分基本不會有什麼問題，因為不會有整數二分取整沒取好導致死迴圈的問題

有兩種寫法：

以迴圈次數為迴圈終止條件

for
(int i =
0; i <60;
++i)
//迴圈60次就已經可以達到很高的精度了

以精度位迴圈終止條件

while
(r - l < eps)
//eps為題目要求的精度

比較推薦第一種寫法，因為第二種如果精度設定過小，加上浮點數的精度問題還是可能死迴圈

二分寫法總結

標準二分寫法

二分查詢總結

二分演算法總結

二分寫法總結

標準二分寫法

二分查詢總結

二分演算法總結

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