原文：
1 複數
在進入尤拉公式之前，我們先看一些重要的複數概念。
1.1 ii
的由來 i=
√−1i=−1
，這個就是ii
的定義。虛數的出現，把實數數系進一步擴張，擴張到了復平面。實數軸已經被自然數、整數、有理數、無理數塞滿了，虛數只好向二維要空間了。
可是，這是最不能讓人接受的一次數系擴張，聽它的名字就感覺它是「虛」的：
虛數似乎只是讓開方運算在整個複數域封閉了（即複數開方運算之後得到的仍然是複數）。
看起來我們沒有必要去理會√−
1−1到底等於多少，我們規定√−
1−1沒有意義就可以了嘛，就好像10
10一樣。
我們來看一下，一元二次方程ax
2+bx
+c=0
(a≠0
)ax2+bx+c=0(a≠0)
的萬能公式：其根可以表示為：x=
−b±√
b2−4
ac2a
x=−b±b2−4ac2a
，其判別式δ=
b2−4
acδ=b2−4ac。
我們再看一下，一元三次方程ax
3+bx
2+cx
+d=0
(a≠0
)ax3+bx2+cx+d=0(a≠0)
，一元三次方程的解太複雜了，這裡寫不下，大家可以參考 維基百科 ，但願大家能夠開啟。
我們討論一下b=
0b=0
，此時，一元三次方程可以化為x3
+px+
q=0x3+px+q=0
，其根可以表示為：
⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩x
1=3√
−q2+
√(q2
)2+(
p3)3
+3√−
q2−√
(q2)
2+(p
3)3x
2=ω3
√−q2
+√(q
2)2+
(p3)
3+ω2
3√−q
2−√(
q2)2
+(p3
)3x3
=ω23
√−q2
+√(q
2)2+
(p3)
3+ω3
√−q2
−√(q
2)2+
(p3)
3{x1=−q2+(q2)2+(p3)33+−q2−(q2)2+(p3)33x2=ω−q2+(q2)2+(p3)33+ω2−q2−(q2)2+(p3)33x3=ω2−q2+(q2)2+(p3)33+ω−q2−(q2)2+(p3)33其中ω
=−1+
√3i2
ω=−1+3i2
。判別式為δ=
(q2)
2+(p
3)3δ=(q2)2+(p3)3
，注意觀察解的形式，δδ
是被包含在根式裡面的。
要想求解三次方程的根，就繞不開複數了嗎？後來雖然發現可以在判別式為負的時候通過三角函式計算得到實根，但是在當時並不知道，所以開始思考複數到底是什麼？
我們認為虛數可有可無，虛數卻實力刷了存在感。虛數確實沒有現實的對應物，只在形式上被定義，但又必不可少。數學界慢慢接受了複數的存在，並且成為重要的分支。
1.2 復平面上的單位圓
在復平面上畫乙個單位圓，單位圓上的點可以用三角函式來表示：
我們來動手玩玩單位圓：
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1.3 復平面上乘法的幾何意義
同樣來感受一下：
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2 尤拉公式對於θ
∈rθ∈r，有ei
θ=co
sθ+i
sinθ
eiθ=cosθ+isinθ
。----維基百科
尤拉公式在形式上很簡單，是怎麼發現的呢？
2.1 尤拉公式與泰勒公式
關於泰勒公式可以參看這篇詳盡的科普文章：
如何通俗地解釋泰勒公式？ 。
尤拉最早是通過泰勒公式觀察出尤拉公式的：ex
=1+x
+12!
x2+1
3!x3
+⋯ex=1+x+12!x2+13!x3+⋯si
n(x)
=x−1
3!x3
+15!
x5+⋯
sin(x)=x−13!x3+15!x5+⋯co
s(x)
=1−1
2!x2
+14!
x4+⋯
cos(x)=1−12!x2+14!x4+⋯將x
=iθx=iθ代入e
e可得：ei
θ=1+
iθ+(
iθ)2
2!+(
iθ)3
3!+(
iθ)4
4!+(
iθ)5
5!+(
iθ)6
6!+(
iθ)7
7!+(
iθ)8
8!+⋯
=1+i
θ−θ2
2!−i
θ33!
+θ44
!+iθ
55!−
θ66!
−iθ7
7!+θ
88!+
⋯=(1
−θ22
!+θ4
4!−θ
66!+
θ88!
−⋯)+
i(θ−
θ33!
+θ55
!−θ7
7!+⋯
)=cosθ+i
sinθ
eiθ=1+iθ+(iθ)22!+(iθ)33!+(iθ)44!+(iθ)55!+(iθ)66!+(iθ)77!+(iθ)88!+⋯=1+iθ−θ22!−iθ33!+θ44!+iθ55!−θ66!−iθ77!+θ88!+⋯=(1−θ22!+θ44!−θ66!+θ88!−⋯)+i(θ−θ33!+θ55!−θ77!+⋯)=cosθ+isinθ
那尤拉公式怎麼可以有乙個直觀的理解呢？
2.2 對同乙個點不同的描述方式
我們可以把ei
θeiθ
看作通過單位圓的圓周運動來描述單位圓上的點，co
sθ+i
sinθ
cosθ+isinθ
通過復平面的座標來描述單位圓上的點，是同乙個點不同的描述方式，所以有ei
θ=co
sθ+i
sinθ
eiθ=cosθ+isinθ
。2.3 為什麼ei
θeiθ
是圓周運動？ 定義
ee為：e
=limn→
∞(1+
1n)n
e=limn→∞(1+1n)n
----維基百科
這是實數域上的定義，可以推廣到複數域ei
=limn→
∞(1+
in)n
ei=limn→∞(1+in)n
。根據之前對複數乘法的描述，乘上(1
+in)
(1+in)
是進行伸縮和旋轉運動，nn
取值不同，伸縮和旋轉的幅度不同。
我們來看看ei
=ei×
1ei=ei×1
如何在圓周上完成1弧度的圓周運動的：
從圖上可以推出n→
∞n→∞時，e
iei在單位圓上轉動了1弧度。
再來看看ei
πeiπ
，這個應該是在單位圓上轉動ππ
弧度：看來ei
θeiθ
確實是單位圓周上的圓周運動。
動手來看看ei
θeiθ
是如何運動的吧：
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2.4 2i
2i的幾何含義是什麼？ 2
i2i看不出來有什麼幾何含義，不過我們稍微做個變換ei
ln2eiln2
，幾何含義還是挺明顯的，沿圓周運動ln
2ln2
弧度。2.5 尤拉公式與三角函式
根據尤拉公式ei
θ=cosθ+i
sinθ
eiθ=cosθ+isinθ
，可以輕易推出：
sinθ=e
iθ−e
−iθ2
isinθ=eiθ−e−iθ2i
和cosθ=
eiθ+
e−iθ
2cosθ=eiθ+e−iθ2
。三角函式定義域被擴大到了複數域。
我們把複數當作向量來看待，複數的實部是xx
方向，虛部是yy
方向，很容易觀察出其幾何意義。
2.6 尤拉恒等式 當θ
=πθ=π的時候，代入尤拉公式：ei
π=co
sπ+i
sinπ
=−1⟹
eiπ+
1=0eiπ=cosπ+isinπ=−1⟹eiπ+1=0。e
iπ+1
=0eiπ+1=0
就是尤拉恒等式，被譽為上帝公式，ee
、ππ、
ii、乘法單位元1、加法單位元0，這五個重要的數學元素全部被包含在內，在數學愛好者眼裡，彷彿一行詩道盡了數學的美好。
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