0/1揹包的主要思路就是:這件物品，取還是不取。用乙個二維陣列dp[i][v]來表示對第i個物品，揹包容量為v時的情況。c[i]表示第i件物品的體積，w[i]表示第i件物品的價值。那麼考慮第i件物品取與不取:如果不取，那麼就可以轉化為i-1件物品、容量仍然為v、價值沒有增加的情況(dp[i-1][v])；如果取，那麼轉化為i-1件物品、容量減去第i件物品的體積後剩餘容量、價值加上第i件物品的價值後的情況(dp[i-1][ v-c[i] ] + w[i] )。為了讓揹包中物品價值最大，我們取二者較大者，也就是
dp[i][v]=max。好了，現在思考如何將陣列壓縮，對於這兩種情況下dp[i][v]值的改變，要麼是dp[i][v]=dp[i-1][v],要麼是dp[i][v]=dp[i-1][ v-c[i] ] + w[i]。假設下面是就是二維陣列dp的一部分,ab
dp[i-1][v]
d e
f g
dp[i][v]
h k
我們可以發現：如果dp[i][v]=dp[i-1][v],那麼相當於直接複製dp[i][v]上面的元素dp[i-1][v]值。而如果dp[i][v]=dp[i-1][ v-c[i] ] + w[i]，注意到，v-c[i]<=v，所以，dp[i][v]的值是由上面紅色的元素加上w[i]得到，也就是說，我們每次想要更新dp[i][v],可能會用到的值只有上面紅色的部分，所以，我們就能把二維陣列壓縮為一維陣列，只需要每次從後往前更新dp[i][v]的值。這樣就用dp[v]來表示容量為v的情況下，揹包內物品的價值，狀態轉移方程也就成了：
dp[v]=max
對於完全揹包，一件物品可以取多次，我們仍然使用0/1揹包的思想:這件物品，取還是不取。唯一的變化是，取了這件物品，還可以取。所以，如果取，仍然是i件物品的問題( dp[i][ v - c[i]] + w[i]);如果不取，dp[i][v]還是dp[i-1][v]都一樣(第一次不取，以後也不會取，相當於轉化成i-1件物品的問題，為了和取的情況保持一致，採用dp[i][v])。所以狀態轉移方程變為了dp[i][v]=max,那麼在陣列裡，
a b m d e
f g dp[i][v] h k
同樣注意到，v-c[i]<=v,所以，每次更新dp[i][v],可能用到的值是紅色部分，所以也可以壓縮為一維，這裡要注意了，陣列中的f、g，是i下的情況，並不是i-1的情況，dp[i][v]的值取決取i下，而不是i-1,所以此時應該從前往後更新dp的值，這樣才能保證取第i件物品時，dp[i][v]是由dp[i][v-c[i]]+w[i]推得，所以儘管狀態轉移方程仍然為dp[v]=max，v的迴圈順序卻應該是從小到大。
基本上，這就是0/1揹包和完全揹包從二維轉化為一維的思路，以後自己還要經常複習。
0/1揹包的偽**：
for i=1 to nfor v=v to 0
f[v]=max
完全揹包的偽**：
for i=1 to nfor v=0 to v
f[v]=max
0 1揹包與完全揹包
現有 n 件物品，乙個最大容量為 w 的揹包。第 i 件物品重量為 wi 價值為 vi 已知對於一件物品，你必須選擇取或不取，且每件物品只能被取一次 這就是 0 1 的含義 求放置哪幾件物品進揹包，使得揹包中物品價值最大 或是求最大價值是多少等衍生問題 設 ans n,w 為當揹包容重量為 w 有 ...
揹包問題 01揹包與完全揹包
一 介紹 揹包問題是最廣為人知的動態規劃問題，都是給定限定的揹包容量與物品，求所能裝下的最大價值 完全揹包 有n種物品，每種均有無限多，第i種物品額體積為v i 重量 價值 為w i 01揹包 有n種物品，每種只有乙個，第i種物品額體積為v i 重量 價值 為w i 在揹包問題中，我們把不同種的物品...
01揹包，完全揹包
動態規劃 動態規劃的核心是狀態以及狀態轉移方程。需要定義乙個 i,j 狀態以及該狀態的指標函式d i,j 01揹包 有n種物品，每種只有乙個，第i件物品的體積為vi質量為wi。選一些物品裝到體積為c的揹包中，使其體積不超過c的前提下重量最大。namevw abcd e 子問題定義 dp i j 表示...