01揹包 完全揹包 多重揹包

01揹包（zeroonepack）: 

有n件物品和乙個容量為v的揹包。（每種物品均只有一件）第i件物品的費用是c[i]，價值是w[i]。求解將哪些物品裝入揹包可使價值總和最大。

完全揹包(completepack):

有n種物品和乙個容量為v的揹包，每種物品都有無限件可用。第i種物品的費用是c[i]，價值是w[i]。求解將哪些物品裝入揹包可使這些物品的費用總和不超過揹包容量，且價值總和最大。

多重揹包(multiplepack):

有n種物品和乙個容量為v的揹包。第i種物品最多有n[i]件可用，每件費用是c[i]，價值是w[i]。求解將哪些物品裝入揹包可使這些物品的費用總和不超過揹包容量，且價值總和最大。

比較三個題目，會發現不同點在於每種揹包的數量，01揹包是每種只有一件，完全揹包是每種無限件，而多重揹包是每種有限件。

①、01揹包：

有n件物品和乙個容量為v的揹包。（每種物品均只有一件）第i件物品的費用是c[i]，價值是w[i]。求解將哪些物品裝入揹包可使價值總和最大。

這是最基礎的揹包問題，特點是：每種物品僅有一件，可以選擇放或不放。

用子問題定義狀態：即f[i][v]表示前i件物品恰放入乙個容量為v的揹包可以獲得的最大價值。則其狀態轉移方程便是：

f[i][v]=max

把這個過程理解下：在前i件物品放進容量v的揹包時，

它有兩種情況：

第一種是第i件不放進去，這時所得價值為:f[i-1][v]

第二種是第i件放進去，這時所得價值為：f[i-1][v-c[i]]+w[i]

（第二種是什麼意思？就是如果第i件放進去，那麼在容量v-c[i]裡就要放進前i-1件物品）

最後比較第一種與第二種所得價值的大小，哪種相對大，f[i][v]的值就是哪種。

（這是基礎，要理解！）

這裡是用二位陣列儲存的，可以把空間優化，用一位陣列儲存。

用f[0..v]表示，f[v]表示把前i件物品放入容量為v的揹包裡得到的價值。把i從1~n(n件)迴圈後，最後f[v]表示所求最大值。*

這裡f[v]就相當於二位陣列的f[i][v]。那麼，如何得到f[i-1][v]和f[i-1][v-c[i]]+w[i]？（重點！思考）

首先要知道，我們是通過i從1到n的迴圈來依次表示前i件物品存入的狀態。即：for i=1..n

逆序！

只有v從大到小，這樣v-c[i]才能比v更晚更新，所以f[v]和f[v-c[i]]+w[i]記錄的是上一重迴圈留下的值，也就是上乙個狀態。這才是前一狀態的真正含義。

這就是關鍵！

[cpp]view plain

copy

fori=1..n  

forv=v..0  

f[v]=max;  

分析上面的**：當內迴圈是逆序時，就可以保證後乙個f[v]和f[v-c[i]]+w[i]是前一狀態的！

資料：  測試資料： 10,3 3,4 4,5 5,6 

這個圖表畫得很好，藉此來分析： 

c[v]從物品i=1開始，迴圈到物品3，期間，每次逆序得到容量v在前i件物品時可以得到的最大值。

這裡以一道題目來具體看看：

題目：**在這裡：

完全揹包：

完全揹包(completepack): 有n種物品和乙個容量為v的揹包，每種物品都有無限件可用。第i種物品的費用是c[i]，價值是w[i]。求解將哪些物品裝入揹包可使這些物品的費用總和不超過揹包容量，且價值總和最大。  完全揹包按其思路仍然可以用乙個二維陣列來寫出：

偽**如下:

[cpp]view plain

copy

fori=1..n  

forv=0..v  

f[v]=max  

順序！想必大家看出了和01揹包的區別，這裡的內迴圈是順序的，而01揹包是逆序的。

現在關鍵的是考慮：為何完全揹包可以這麼寫？

在次我們先來回憶下，01揹包逆序的原因？是為了是max中的兩項是前一狀態值，這就對了。

那麼這裡，我們順序寫，這裡的max中的兩項當然就是當前狀態的值了，為何？

因為每種揹包都是

無限的。當我們把i從1到n迴圈時，f[v]表示容量為v在前i種揹包時所得的價值，這裡我們要新增的不是前乙個揹包，而是當前揹包。所以我們要考慮的當然是當前狀態。

題目：**：

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難度： 4

描述 直接說題意，完全揹包定義

有n種物品和乙個容量為v的揹包，每種物品都有無限件可用。

第i種物品的體積是c，價值是w。求解將哪些物品裝入揹包可使這些物品的體積總和不超過揹包容量，且價值總和最大。本題要求是揹包

恰好裝滿揹包時，求出最大價值總和是多少。如果不能恰好裝滿揹包，輸出no

輸入第一行： n 表示有多少組測試資料（n<7）。

接下來每組測試資料的第一行有兩個整數m，v。 m表示物品種類的數目，v表示揹包的總容量。(0輸出

對應每組測試資料輸出結果（如果能恰好裝滿揹包，輸出裝滿揹包時揹包內物品的最大價值總和。 如果不能恰好裝滿揹包，輸出no）

樣例輸入

2

1 52 2
2 52 2
5 1

no

1

/*完全揹包與01揹包在實現起來最大的區別就是乙個順序乙個逆序，

至於為什麼，想象一下轉化圖就可以。因為01揹包需要的是上乙個
迴圈遺留下來的那些值，而完全揹包需要的是這一層已經得到的值.
即表達的是乙個物品可以放無數次。另外這道題要求的是剛好填滿
揹包，所以就有乙個技巧，就是開始時只把dp[0]初始化為0，其他
都是負無窮，所以在dp更新的時候只有達到0才會產生乙個正值。*/ 
#include #include #define inf 0xfffffff 
using namespace std;
int dp[50003], w[2003], v[2003];
int main()
if(dp[s] > 0)
printf("%d\n", dp[s]);
else
printf("no\n");
}	return 0;
}

多重揹包(multiplepack): 有n種物品和乙個容量為v的揹包。第i種物品最多有n[i]件可用，每件費用是c[i]，價值是w[i]。求解將哪些物品裝入揹包可使這些物品的費用總和不超過揹包容量，且價值總和最大。 

這題目和完全揹包問題很類似。基本的方程只需將完全揹包問題的方程略微一改即可，因為對於第i種物品有n[i]+1種策略：取0件，取1件……取n[i]件。令f[i][v]表示前i種物品恰放入乙個容量為v的揹包的最大權值，則有狀態轉移方程： 

普通的轉換對於數量較多時，則可能會超時，可以轉換成二進位制（暫時不了解，所以先不講）  對於普通的。就是多了乙個中間的迴圈，把j=0~bag[i]，表示把第i中揹包從取0件列舉到取bag[i]件。 

給出乙個例題： 

題目：**：

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哈哈 01揹包 f i v max 完全揹包 f i v max 多重揹包 f i v max include include include include include define maxn 1000 using namespace std int n,cap int w maxn 重量 花...

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01揹包 include int c 101 1001 定義100個物品1000重量的總價值陣列 void calcmaxvalues int n,int t w v 101 w單個物品的重量，v單個物品的價值 for i 1 i n i for i 1 i n i else else printf...