最長遞增子串行 LIS

最長遞增子串行問題它的英文專用名詞是

lis: longest increasing subsequence.

問題描述

乙個數的序列bi，當b1 < b2 < … < bs的時候，我們稱這個序列是上公升的。對於給定的乙個序列(a1, a2, …, an)，我們可以得到一些上公升的子串行(ai1, ai2, …, aik)，這裡1 <= i1 < i2 < … < ik <= n。比如，對於序列(1, 7, 3, 5, 9, 4, 8)，有它的一些上公升子串行，如(1, 7), (3, 4, 8)等等。這些子串行中最長的長度是4，比如子串行(1, 3, 5, 8).

你的任務，就是對於給定的序列，求出最長上公升子串行的長度。

輸入

輸入的第一行是序列的長度n (1
<= n
<= 1000)。
第二行給出序列中的n個整數，這些整數的取值範圍都在0到10000。

輸出

最長上公升子串行的長度。

樣例輸入

7

1 7 3 5 9 4 8

樣例輸出

題目鏈結

解題思路

1. 找子問題

「求序列的前n個元素的最長上公升子串行的長度」是個子問題，但這樣分解子問題，不具有「無後效性」

假設f(n) = x,但可能有多個序列滿足f(n) = x。有的序列的最後乙個元素比 an+1小，則加上an+1就能形成更長上公升子串行；有的序列最後乙個元素不比an+1小……以後的事情受如何達到狀態n的影響，不符合「無後效性」

「求以ak（k=1, 2, 3…n）為終點的最長上公升子串行的長度」乙個上公升子串行中最右邊的那個數，稱為該子串行的「終點」。雖然這個子問題和原問題形式上並不完全一樣，但是只要這n個子問題都解決了，那麼這n個子問題的解中，

最大的那個就是整個問題的解。

2.確定狀態：

子問題只和乙個變數-- 數字的位置相關。因此序列中數的位置k 就是「狀態」，而狀態k 對應的「值」，

就是以ak做為「終點」的最長上公升子串行的長度。

狀態一共有n個。

3.找出狀態轉移方程：

maxlen (k)表示以ak做為「終點」的最長上公升子串行的長度
那麼：初始狀態：maxlen (1) =1
maxlen(k)=max
for(int i=1;i//求以第i個數為終點的最長上公升子串行的長度
for(int j=0;j//遍歷之前的數，察看以第j個數為終點的最長上公升子串行
if(a[i]>a[j])
dp[i]=max(dp[i],dp[j]+1);}}
cout
<<*max_element(dp,dp+n)0;}

時間複雜度為o(n^2)

！改進演算法

參考部落格

改進演算法的時間複雜度為nlonn

改進演算法思想如下：

其實就是模擬乙個棧如果a[i]大於當前棧頂的元素那麼a[i]入棧 else 當前棧是嚴格遞增的在當前棧中二分查詢棧中的比它大的第1個數然後替換掉那個數

這樣做，增大了最大遞增子串行增加元素的潛力

ac**

#include
#include
using
namespace
std;
const
int maxn=1005;
int a[maxn];
int main()
a[l]=temp;}}
cout
<}

最長遞增子串行 LIS

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最長遞增子串行（LIS）

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