動態規劃求解路徑問題

動態規劃求解的兩個條件：

1）最優解問題

2）大問題可以拆分成小問題，大問題的最優解包含小問題的最優解，將小問題的最優解儲存起來，在求大問題最優解的時候無需重新求解，直接拿來用即可。

具體問題

需求一：

給定m*n矩陣，從左上角出發，到右下角，每次只能向右走或者向下走，求共有多少路徑？

分析：假設路徑數是f(m, n)，那麼第一步如果向右走，那麼有f(m, n-1)種走法，如果第一步向下走，那麼有f(m-1, n)種走法，所以可以得到遞推式：f(m, n) = f(m, n-1) + f(m-1, n)。這樣就可以使用dp求解。並且，如果m或n為1，即只有一行或者只有一列，那麼共有一條路徑。可以建立int[m+1][n+1]陣列，給只有一行/一列的元素置1，然後遞推求解。

**：

class solution 
return dp[m][n];
}}

需求二：

給定二維陣列m*n，每個元素的值表示距離，求從[0][0]到[m-1][n-1]的最短距離，每次只能向右走或者向下走。

分析：動態規劃的問題。我們可以正向求解，求出起點到每個點的最短距離，也可以反向求解，求出每個節點到終點的最短距離。

1）正向求解

對於第乙個點，距離就是它的值。對於第一行的點，到起點的最短距離就是當前點的值加上左邊點到起點的最短距離。對於第一列的點，到起點的最短距離就是當前點到上乙個點到起點的最短距離。對於其它的點，要麼是從上面的點過來，要麼是從下面的點過來，所以求二者的最小值，加上當前點的值即可。最後返回終點到起點的距離即可。

2）反向求解

對於最後乙個點，距離就是它的值。對於最後一行的點，到終點的最短距離就是當前值加上右邊點到終點的最短距離。對於最後一列的點，到終點的距離就是當前值加上其下面乙個點到終點最短距離。對於其它的點，要麼是向右走，要麼向下走，選擇二者的較小值加上當前值即為最短距離。最後返回起點到終點的距離。

3）原始陣列是否可以改變？

如果可以改變，那麼可以直接在原始陣列上進行修改，如果正向求解，那麼修改後的陣列中的值就是到起點的最短距離，如果是反向求解，那麼修改後的陣列中的值就是到終點的最短距離。

如果不可以改變，那麼需要建立和原始陣列同大小的陣列，正向求解和反向求解的結果同上。

**：

class solution 
}return grid[grid.length-1][grid[0].length-1];
/*//思路二：修改陣列，反向求解 
for(int i = grid.length-1; i >= 0 ; i--)
}return grid[0][0];
*//*
//思路三：開闢新的陣列，正向求解
int row = grid.length, col = grid[0].length;
int dp = new int[row][col];
for(int i = row-1; i >= 0; i--)
}return dp[0][0];
*//*
//思路四：開闢新的陣列，正向求解
int row = grid.length, col = grid[0].length;
int dp = new int[row][col];
for(int i = 0; i < row; i++)
}return dp[row-1][col-1];*/}
}

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