本文根據演算法導論第三章總結，但其中加入了我對本章的一些補充，並且配合演算法導論習題進行講解。
相信本文會讓你對漸近記號有更深入地理解。
對於某個比較簡單的演算法，我們有時候確實能夠精確地分析出演算法的複雜度，比如演算法複雜度為5n^2+10n+6，但是事實上並不需要這樣，因為當n足夠大時，可以忽略掉低階項和最高次項的係數，因此就引出了「漸近複雜度」，並且用「漸近記號」來表示「漸近複雜度」。
漸近記號包括：
(1)θ （theta）：緊確界。 相當於"="
(2)o
（大歐）：上界。 相當於"<="
(3)o （小歐）：非緊的上界。 相當於"
(4)ω （大omega）：下界。 相當於">="
(5)ω （小omega）：非緊的下界。 相當於">"
給出這些記號的定義：
對於定義的注意點：
(1)這些定義的前提是f(n)和g(n)是漸近非負的，漸近非負的意思是「當n趨於無窮大時，f(n)和g(n)都非負」。
(2)對於第4和第5條定義，需要注意是對於任意的c。
用集合論來表示這5個符號的關係：
從上面的圖可以看出：
(1)如果f(n)=θ(g(n)),則f(n)=
o(g(n))且f(n)=
ω(g(n))。
(2)如果f(n)=
o(g(n)),則f(n)=
o(g(n))
。 (3)如果f(n)=
ω(g(n))，則f(n)=
ω(g(n))。
(4)如果
f(n)=
o(g(n)),則要麼是
f(n)=
o(g(n))，要麼是
f(n)=
θ(g(n))。
(5)如果f(n)=
ω(g(n))
,則要麼是
f(n)=
ω(g(n))，要麼是
f(n)=
θ(g(n))。
原因其實很簡單因為：
(1)如果
f(n)=
θ(g(n))，則根據定義一定存在c1,c2,n0，使得對於任意的n>=n0，都有c1g(n)<=f(n)<=c2g(n)，因此必定存在
"c=c2,n0,使得對於任意的n>=n0,都有f(n)<=cg(n)"
"c=c1,n0,使得
對於任意的n>=n0,都有
cg(n)
<=
f(n)
" (2)如果
f(n)=
o(g(n)),則根據定義一定對於任意的c，都存在n0，使得任意的n>=n0，都有
f(n)=n0,都有f(n)<=cg(n)」
(3)如果f(n)=
ω (g(n)),則根據定義一定對於任意的c，都存在n0，使得任意的n>=n0，都有
cg(n)
<
f(n)，因此必定存在「存在c,n0，使得對於任意的n>=n0,都有
cg(n)
<=
f(n)」
了解了這些定義後，給出乙個概念：這些漸近記號表示的都是集合，比如
o(n^2)表示的是乙個集合，可以是n,1,n^2等，
因此對於這些漸近記號的使用最準確應該是「f(n)∈
o(g(n))
」，但是一般都是寫成「
f(n)=
o(g(n))」。
給出一些例子：
o(n^2)可以是n,2n,1,2n^2等
。 θ(n^2)可以是n^2,3n^2等。
ω (n^2)可以是n^3,n^10等,但不能是n^2。
ω (n^2)可以是n^2,n^3,n^10等。
o(n^2)可以是n,1,3n等,
但不能是n^2。
一般我們對於演算法複雜度的描述都是用
o記號，比如bellmanford的複雜度為
o(ve)，表示對於所有的輸入，都滿足
o(ve)。
我們這裡給出了很通用的方法，叫做「極限法」。
看到上面的方法，很多人會問「怎麼沒有o和
ω？」，原因很簡單，因為如果
f(n)=
o(g(n)),
則要麼是
f(n)=
o(g(n))，要麼是
f(n)=
θ(g(n))。
stirling公式：
還要注意一點：我們在證明時，一般不需要具體指出n0的值，只需要證明一定存在n0即可。（像在演算法導論p27頁的最後幾行中，他給出了很複雜的n0，這不必深究。）
現在開始舉例子。
第乙個問題**於演算法導論思考題3-1。
第二個問題**於演算法導論3.2-3。
第三個問題**於演算法導論3.2-5。
第四個問題是設計函式以滿足一定的條件。
第五個問題也是關於設計乙個函式，他是演算法導論思考題3-3(b)。
最後還要再舉乙個演算法導論思考題3-4，因為這道題能夠更清晰地理清概念。
資料結構與演算法（二） 漸近符號
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一 漸進符號 1 of n o g n 表示存在適當的常數c和n0使得f n 小於或等於c g n 對於充分大的n成立 0 f n c g n c 0,n0 0,n n0 例 2n 2 o n 3 粗略的說就是去掉首項係數和低階項,剩下的小於或等於n 3 o粗略的說就是小於或等於,這裡的等號不對稱 ...
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