5.5.4 用數學方法解約瑟夫環
原文:上面編寫的解約瑟夫環的程式模擬了整個報數的過程，程式執行時間還可以接受，很快就可以出計算結果。可是，當參與的總人數n及出列值m非常大時，其運算速度就慢下來。例如，當n的值有上百萬，m的值為幾萬時，到最後雖然只剩2個人，也需要迴圈幾萬次（m的數量）才能確定2個人中下乙個出列的序號。顯然，在這個程式的執行過程中，很多步驟都是進行重複無用的迴圈。
那麼，能不能設計出更有效率的程式呢？
辦法當然有。其中，在約瑟夫環中，只是需要求出最後的乙個出列者最初的序號，而不必要去模擬整個報數的過程。因此，為了追求效率，可以考慮從數學角度進行推算，找出規律然後再編寫程式即可。
為了討論方便，先根據原意將問題用數學語言進行描述。
問題：將編號為0～（n–1）這n個人進行圓形排列，按順時針從0開始報數，報到m–1的人退出圓形佇列，剩下的人繼續從0開始報數，不斷重複。求最後出列者最初在圓形佇列中的編號。
下面首先列出0～（n–1）這n個人的原始編號如下：
根據前面曾經推導的過程可知，第乙個出列人的編號一定是（m–1）%n。例如，在41個人中，若報到3的人出列，則第乙個出列人的編號一定是（3–1）%41=2，注意這裡的編號是從0開始的，因此編號2實際對應以1為起點中的編號3。根據前面的描述，m的前乙個元素（m–1）已經出列，則出列1人後的列表如下：
根據規則，當有人出列之後，下乙個位置的人又從0開始報數，則以上列表可調整為以下形式（即以m位置開始，n–1之後再接上0、1、2……，形成環狀）：
按上面排列的順序重新進行編號，可得到下面的對應關係：
即，將出列1人後的資料重新組織成了0～（n–2）共n–1個人的列表，繼續求n–1個參與人員，按報數到m–1即出列，求解最後乙個出列者最初在圓形佇列中的編號。
看出什麼規律沒有？對了，通過一次處理，將問題的規模縮小了。即，對於n個人報數的問題，可以分解為先求解（n–1）個人報數的子問題；而對於（n–1）個人報數的子問題，又可分解為先求[（n–1）–1]人個報數的子問題，……。
問題中的規模最小時是什麼情況？就是只有1個人時（n=1），報數到（m–1）的人出列，這時最後出列的是誰？當然只有編號為0這個人。因此，可設有以下函式：
那麼，當n=2，報數到（m–1）的人出列，最後出列的人是誰？應該是只有乙個人報數時得到的最後出列的序號加上m，因為報到m-1的人已出列，只有2個人，則另乙個出列的就是最後出列者，可用公式表示為以下形式：
通過上面的算式計算時，f(2)的結果可能會超過n值（人數的總數）。例如，設n=2，m=3（即2個人，報數到2時就出列），則按上式計算得到的值是：
一共只有2人參與，編號為3的人顯然沒有。怎麼辦？由於是環狀報數，因此當兩個人報完數之後，又從編號為0的人開始接著報數。根據這個原理，即可對求得的值與總人數n進行模運算，即：
5.5.4 用數學方法解約瑟夫環（2）
即，n=2，m=3（即有2個人，報數到3–1的人出列）時，迴圈報數最後乙個出列的人的編號為1（編號從0開始）。我們來推算一下，如下所示，當編號為0、1的兩個人迴圈報數時，編號為0的人報的數為0和2，當報到2（m–1）時，編號0出列，最後剩下編號為1的人，所以編號為1的人最後出列。
根據上面的推導過程，可以很容易推導出，當n=3時的公式：
同理，也可以推導出參與人數為n時，最後出列人員編號的公式：
其實，這就是乙個遞推公式，公式包含以下兩個式子：
有了這個遞推公式，再來設計程式就很簡單了，可以用遞迴的方法來設計程式，具體**如下：
#include在以上**中，定義了乙個遞迴函式josephus()，然後在主函式中呼叫這個函式進行 運算。<
stdio.h
>
int main(void)
int josephus(int n,int m)
編譯執行以上程式，輸入n和m的值，可以很快得到最後出列人的編號，輸入n=8，m=3，得到的結果如圖5-19所示（注意編號是從0開始）。
使用遞迴函式會占用計算機較多的記憶體，當遞迴層次太深時可能導致程式不能執行，因此，也可以將程式直接編寫為以下的遞推形式：
#include這段**執行的結果與遞迴程式執行結果完全相同。<
stdio.h
>
int main(void)
可以看出，經過一些數學推導，最後總結出規律簡化程式，將幾十行的**縮減到幾行。更主要的是，程式執行的效率得到大大的提公升，省去了很多重複的迴圈，既使求解的n和m值很大，也不會成為問題
約瑟夫環問題（用數學方法推出計算公式）
基本問題描述 已知n個人 以編號1，2，3.n分別表示 圍坐在一張圓桌周圍。從編號為1的人開始報數，數到m的那個人出列 他的下乙個人又從1開始報數，數到m的那個人又出列 依此規律重複下去，直到圓桌周圍的人全部出列。也類似於 殺人狂問題 通常解決這類問題時我們把編號從0 n 1，最後結果 1即為原問題...
約瑟夫問題的數學方法
無論是用鍊錶實現還是用陣列實現都有乙個共同點 要模擬整個遊戲過程，不僅程式寫起來比較煩，而且時間複雜度高達 o nm 當n，m非常大 例如上百萬，上千萬 的時候，幾乎是沒有辦法在短時間內出結果的。我們注意到原問題僅僅是要求出最後的勝利者的序號，而不是 要讀者模擬整個過程。因此如果要追求效率，就要打破...
約瑟夫問題的數學方法
無論是用鍊錶實現還是用陣列實現都有乙個共同點 要模擬整個遊戲過程，不僅程式寫起來比較煩，而且時間複雜度高達o nm 當n，m非常大 例如上百萬，上千萬 的時候，幾乎是沒有辦法在短時間內出結果的。我們注意到原問題僅僅是要求出最後的勝利者的序號，而不是要讀者模擬整個過程。因此如果要追求效率，就要打破常規...