Kuhn Munkres 演算法詳細解析

直接進入正題，kuhn-munkres 演算法（下文簡稱 km 演算法）是為了高效求解二分圖最佳完美匹配問題而生的，我們先溫習一下幾個概念，如果你對這幾個概念不是很熟悉的話，建議先去學習。

不要被概念弄的暈了，用最直觀的方式考慮。情景是有乙個班級的學生要結成男女兩兩一組，但每個學生只想自己喜歡的異性結成一組，於是這就會有衝突。由於男男、**不會結成一組，這是乙個二分圖。二分圖最大匹配就是要給出乙個最優方案，使得結成的組數最多。

下面說複習二分圖最大匹配相關：

為了方便敘述，我們將二分圖染色後同顏色的節點放在同一側，形成左側（x

x 集），右側（y

y 集）。

增廣路互換的實質可以這麼考慮，如上圖：從未匹配點 a 出發，a 想與 b 匹配，於是通過未匹配邊找到 b，然而 b 已經是匹配點，於是只能經過匹配邊去問 c 能不能與別人匹配，c 經過未匹配邊找到 d，由於 d 是未匹配點，所以 c 成功與 d 匹配。cd 之間的邊變為匹配邊；bc 之間解除關係，變為未匹配邊；ab 之間建立關係，變為匹配邊。這便是增廣路互換的實質。

回到上面的情景，完美匹配就是可以得到乙個方案，使得所有男女同學都可以結成兩兩一組。

km 演算法是通過給每個頂點乙個標號（叫做頂標）來把求最大權完美匹配的問題轉化為求完美匹配的問題的。可以簡單理解為節點函式就是節點的乙個值。

可行頂標就是對於所有頂點的函式值 l

l，使得對於任意弧 e(x \rightarrow y)e(

x→y)

，都滿足 l_ + l_ \ge w_l

≥w

e, km 演算法的頂標自始至終滿足這一條件。

接著是相等子圖，相等子圖包含原圖中所有的點，但只包含滿足 l_ + l_ = w_l

e 的所有弧 e(x \rightarrow y)e(

x→y)

，根據定義，這些弧一定是當前最大的弧（不等式已經取到等號），那麼如果相等子圖有完美匹配，那這個完美匹配一定是最大完美匹配。因為相等子圖的權值和為所有點的頂標之和，而隨便乙個匹配中的邊因為受到 w_ \le l_ + l_w

e≤

y 的限制，不可能比所有點的頂標之和大，所以這個極為重要的定理還是很好證明的。

所以演算法的主要矛盾就在於尋找可行頂標，使得相等子圖有完美匹配。可行頂標的修改過程中，每一步都運用了貪心的思想，這樣我們的最終結果一定是最優的。下面是演算法的敘述：

因為有 l_ + l_ = w_l

e 恆成立，我們設左側（y

y 集）的所有節點頂標為 0

0，那麼所有 x

x 集的點的頂標就必須為從它出發所有的邊的最大值。

接著求其完美匹配，如果成功，結束演算法，否則必須修改頂標，使得有更多的邊能夠參與進來。

我們求當前相等子圖的完美匹配失敗，是因為對於某個未匹配頂點 u

u，我們找不到一條從它出發的增廣路，這時我們只能獲得一條交替路。我們把 x

x 集中在交替路的點集叫做 s

s， x

x 集中不在交替路的點集叫做 s's

′，同理 y

y 集中在交替路的點集叫做 t

t， y

y 集中不在交替路的點集叫做 t't

′。

如果我們把交替路中 x

x 集頂點的頂標全都減小某個值 dd，y

y 集的頂標全都增加同乙個值 d

d，那麼我們會發現：

也就是說，只有 x

x 集一端在 s

s 中，y

y 端在 t't

′ 中的邊才有可能被選中。繼續貪心，我們只能讓滿足條件的邊權最大的邊被選中，即滿足 l_ + l_ = w_l

e，那麼這個 d

d 值，就應該取 d = \min\ + l_ - w_\ \vert \ x \in s, y \in t'\}d=

min。

於是有新的邊加入相等子圖，我們可以愉快的繼續對於未匹配頂點 u

u 尋找增廣路，這樣的修改最多進行 n

n 次，而一共有 n

n 個點，所以除去修改頂標的時間，複雜度已經達到 o(n^)o(

)。因此演算法的複雜度主要取決於修改頂標的時間。

思路一：列舉所有 n^n

2 條邊，看是否滿足條件，滿足條件就更新 d

d 值。最直觀清晰，然而總的複雜度飆公升至 o(n^)o(

)。思路二：對於 t't

′ 的每個點 v

v，定義鬆弛變數 slack(v) = \min\+l_ -w_\ \vert\ x\in s\}sl

ack(

v)=min

，這個鬆弛變數在匹配的過程中就可以更新，修改頂標的過程中 d = \min\d=

min。總複雜度 o(n^)o(

)，但不是嚴格的（想一想為什麼）？但實際已經夠用。

km 演算法僅僅只適用於找二分圖最佳完美匹配，如果無完美匹配，那麼演算法很可能陷入死迴圈（如果不存在的邊為 -inf 的話就不會，但正確性就無法保證了），對於這種情況要小心處理。

最後回顧一下總的流程，理一下思路：

初始化可行頂標。

用增廣路定理尋對每個點找匹配。

若點未找到匹配則修改可行頂標的值。

重複2、3步直到所有點均有匹配為止，即找到相等子圖的完美匹配為止。

const
intmaxn
=500+3
,inf
=0x3f3f3f3f
;intn,
w[maxn
][maxn
];int
mat[
maxn
];intlx[
maxn
],ly
[maxn
],slack
[maxn
];bools[
maxn],t
[maxn
];inline
void
tension
(int&a
,const
intb
)inline
bool
match
(intu)
}else
tension
(slack[v
],t);}
return
false;}
inline
void
update()}
inline
void
km()
for(
inti=0
;i++i)}
}

參考目錄： & 劉汝佳：《訓練指南》

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