ACM訓練日記 1月22日

因為《初等數論》還有一些比較重要的東西沒看到，還不想放棄。另外又必須利用3到4天看完組合數學的知識點和部落格，所以這兩天的任務還是很重的。繼續整理一下吧。

一，《初等數論》（潘承洞）

1，證明：(0 mod 2)交(1 mod 3)=(4 mod 6)。證：由此知交設a=2m=3n+1，得2m-2n=n+1得n=2(m-n)-1得a=6(m-n)-2由此得a=6k-2即a=6k+4即(4 mod 6)。。。。。這個證明非常重要。

2，設a>2是奇數，證明：

(i)一定存在正整數d<=a-1，使得a|(2^d)-1。

(ii)設d0是滿足(i)的最小正整數d，那麼a|(2^h)-1(h屬於n)的充要條件是d0|h。

(iii)必有正整數d使得((2^d)-3,a)=1。

這個證明是令a^j=qa+r，輾轉相除，最後證出的，具體不寫了，都在書上。

3，例題：證x^2被3除后最小非負餘數為0,1。證：設x為3n，3n+1或3n+2，n屬於n，則：

1，x=3n , x^2=9n^2=3(3n^2), mod 3=0.

2，x=3n+1，x^2=9n^2+6n+1=3(3n^2+2n)+1，mod 3 =1.

3，x=3n+2，x^2=9n^2+12n+4=3(3n^2+4n+1)+1，mod 3=1。

因此餘數只有1,0.

4，設n,d是正整數，n>1，d|n，再設整數r滿足(r,d)=1，以及集合a=，證明：集合a中與n互素的數的個數oula(n)/oula(d)。

證明：若對某個l有(n,r+dl)=g>1，則必有(d,g)=1，設p1,p2,...pm是n的所有不同的素因數，滿足(pj,d)=1，那麼a中與n互素的數就是那些不為任一pj(1<=j<=m)所整除的數。

這是一到好題，我覺得完全可以按這道題出一道容斥原理題，也可以用推理出最後得結論做。

5，k元一次不定方程，a1x2+a2x2+...anxn=c。

6，上面一次不定方程有解充要條件是(a1,a2,,,ak)|c。

7，設二元一次不定方程a1x1+a2x2=c有解，x10,x20是它的一組解，那麼它的所有解為 x1=x10+a2*t/(a1,a2),x2=x20-a1*t/(a1,a2)，t=0,(+-)1,...

數論先補到這些，下面整理下組合數學。

二，《組合數學》（richard a. brualdi）

1，加法原理，減法原理，乘法原理，除法原理。。。都很簡單，不說了。

2，p(n,r)表示n元素集合的r排列數目。（從n個元素集合中選出r個有多少種排列方式）。

p(n,r)=n!/(n-r)!

其實關於這部分的題目就是還要具體問題具體分析。

3，n元素集合的迴圈r排列的數目是p(n,r)/r=(n!)/(r*(n-r)!)。

可以這麼理解先按照一條線上排列，因為桌子有r個點，所以首尾相連後會有r個重複的。。。我不太會就是，其實理解一下就清楚了。

今天有點晚了，先整理這些吧。