組合數學之四 鴿巢原理

如果要把n+1個物品放進n個盒子中，那麼至少有乙個盒子包含兩個或更多東西

原理很簡單，我們提出兩個推論：

看一下例題吧（從題中參透精華）：

∞ 例一

給定m個整數a1,a2,a3,…,am，存在連續的一段區間，使得區間和能被m整除

首先，看到區間和就要條件反射般想到用字首和處理

能被m整除這個條件，就可以轉化成「區間和%m=0」

那麼字首和就用該有m+1個值：

0 a1

a1+a2

a1+a2+a3

… a1+a2+…+am

我們把字首和%m後，會有乙個很顯然但很玄妙的細節：

%m後的數值的範圍一定在：0~m-1（一共m種值）

這就說明，這m+1種字首和中，有m種不同的數值，那麼一定有兩個字首和%m後的值相等

因此要求的區間一定是在這兩個相等的字首和之間的數列

∞ 例二

一位西洋棋大師有11周的時間備戰一場錦標賽，ta決定每天至少下一盤棋

為了不使自己過於疲勞，ta還決定每週不能下超過12盤棋

證明存在連續若干天，期間這位大師恰好下了21盤棋

設ai是在第一天所下的盤數，

因為每天至少下一盤棋，故數列序a[1],a[2],a[3],…,a[77]一定是乙個嚴格遞增序列

又因為任意一周最多下12盤棋，所以a[77]<=11*12=132，因此我們有：

1<=a[1] < a[2] < … < a[77]<=132

那麼序列a[1]+21,a[2]+21,a[3]+21…一定也是乙個嚴格遞增的序列

22<=a[1]+21 < a[2]+21 < … < a[77]+21<=153

於是a[1],a[2],a[3],…,a[n],a[1]+21,a[2]+21,…a[n]+21

這154個數中的每乙個都是1到153之間的整數，由此可知，它們中一定有兩個數是相等的

因為a[i]中沒有相等的數，因此a[i]+21中也沒有乙個相同的數，

那麼一定有一對數：a[j]=a[i]+21

∞ 例三

設m和n是互素的正整數，並設a和b為整數，其中0<=a<=m-1，0<=b<=n-1

於是存在正整數x，使得x%m=a，x%n=b

為證明這個決定，我們考慮n個整數：

a m+a

2m+a

3m+a

… (n-1)m+a

這些整數中，每乙個%m餘數都是a

設其中有兩個數除以n有相同的餘數r，令這兩個數為：im+a，jm+a，其中0<=i < j<=n-1

於是，存在兩個整數qi和qj，使得：

i*m+a=qi*n+r

j*m+a=qj*n+r

得：(j-i)m=(qj-qi)n

因為m，n互質，因此n一定是（j-i）的因子

然而0<=i < j<=n-1，那麼j-i<=n-1，上式不成立

因此，我們可以斷定：這n個數%n之後的餘數各不相同

只要再多取乙個數，那麼%n的餘數一定會和之前的n個數中之一一樣

原問題得證

定理一設q1,q2,…,qn是正整數，如果將（q1+q2+…+qn-n+1）個物體放入n個盒子內

那麼或者第乙個盒子至少含有q1個物體，或者第二個盒子至少含有q2個物體，…，或者第n個盒子至少含有qn個物體

假設我們把（q1+q2+…+qn-n+1）個物體放入n個盒子，而每個盒子中的物品都不超過qi個

那麼最多有：

（q1-1）+（q2-1）+（q3-1）+…+（qn-1）=（q1+q2+…+qn）-n

個物品

但是原題目中的物品數目比上式的多乙個，這個多出來的物品，無論放在哪乙個盒子中，都有原題設

鴿巢原理的加強版的著色術語就是：

如果（q1+q2+…+qn-n+1）個物體，用n種顏色之一著色，那麼存在某個i，使得第i中顏色的物體（至少）有qi個

推論一設n和r都是正整數，如果把n(r-1)+1個物體中的每乙個物體費拍到n個盒子中，那麼至少有乙個盒子含有r個或更多的物體

有n^2+1個人排成一列，總能找到n+1個人向前邁一步，使得他們的身高是遞增的（或遞減的）

注意：我們這裡說的遞增指的是單調不減

我們假設不存在長度為n+1的遞增子串行，證明必然存在長度為n+1的遞減子串行

設每個人的身高就是ai

mi為以每乙個元素開頭的最長遞增子串行

由題設得：

也就是說：n^2+1個m值都分布在[1,n]這個區間內

由鴿巢原理加強版，一定有n+1個元素的m值相等

設若存在乙個i（i∈[1,2,…,k]）使得

那麼我們就可以把m[k[i+1]]接到a[k[i]]後面，形成乙個新的遞增序列

這樣m[k[i]]>m[k[i+1]]，與原題設不符

因此我們得到：

那麼我們可以同理得出：

因此數列：

原問題得證

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