lintcode第二題計算n階乘中尾部零的個數

設計乙個演算法，計算出n階乘中尾部零的個數

樣例11! = 39916800，因此應該返回 2

挑戰o(logn)的時間複雜度

先說結論，此問題大致有三種思路：第一種算出結果，然後檢視末尾的0的個數，效果非常差；第二種，加法操作，從5開始，每次進5，然後判斷，效果達不到o(logn)；第三種，每次除5，多次之後結束。

詳情如下。

重點分析在演算法2和演算法3，需要的可以直接跳到這部分檢視。

面對此問題，第一反應是直接計算結果：11!=39916800，然後設計程式判斷末尾的0的個數，很簡單就可以實現。

但是相應的會有很多的問題：

1、計算階乘的開銷

現在只是11的階乘，都已經很大了，如果是5555550000000的階乘呢？按照程式的計算結果，末尾會有1388887499996個0，計算開銷很值得考慮。

2、溢位

按照上面的介紹，5555550000000的階乘有1388887499996個0，那麼可以推知階乘的結果會是很大的乙個整數，肯定會超出long型別的界限，結果會溢位。這樣還要考慮處理溢位問題，又是另乙個問題。

3、效率

演算法2會涉及到效率問題，會發現即使是演算法2也會出現計算時間超出要求的問題，那麼更為「樸素」的演算法1效率更是可想而知了。

因此，演算法1，捨棄。

演算法2分析

仔細的考慮問題，會發現末尾出現的0是10或10的倍數相乘的結果，而10其實是5與偶數相乘。也就是，最終結果中末尾出現的0是5、10、15、20、25…自身或與偶數相乘之後的產生的。下面可以分為偶數和5的倍數分析。

首先考慮偶數。

考慮2的冪次項2、4、8…中的2的個數，發現2的冪指數的增長速度遠比5的冪指數增長的快，更不用說其他的普通偶數6、12、14…。因此可以認為有足夠的偶數與奇數形式的5的倍數相乘產生足夠的0。所以我們後面只考慮5的倍數。

接著考慮5的倍數。

1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11...

其實1、2、3、4、6、7…都是可以不用考慮的，因此選擇以5為迭代步數即可。

首先，這些數字都可以不用進行%5（對5取餘數）運算，因此每次迴圈時可以直接將函式的count變數直接加1。其次，考慮25、125、625…等5的冪次項，因為他們每乙個都可以在與偶數相乘之後產生多個0。因此，設定乙個迴圈體，判斷是多少冪次項，並將結果加進count。

綜上所述，可以編寫**如下：

演算法2**

public
class
solution 
}return count;}}

**很簡單，不再解釋。

但是效率很差，分析發現**的時間複雜度實際是o(n/5)~=o(n)，達不到要求的o(logn)。

演算法2雖然可以解決問題，但考慮執行效率，演算法2應該捨棄。

反思&對比

這個演算法真的是感觸很深，對平時很多習以為常的公式、道理有了非常直觀的認識，因此對自己的衝擊很大，也促進了思考的進步。

提交演算法2的**，發現前面的簡單測試都能通過，但是數值5555550000000測試失敗。特別是實現了時間複雜度o(logn)的演算法3之後，才發現兩者時間開銷差別真的是很大。

重新分析

1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11、...

1、分析上面的數列可知，每5個數中會出現乙個可以產生結果中0的數字。把這些數字抽取出來是：

...、5、...、10、...、15、...、20、...、25、...

這些數字其實是都能滿足5*k的數字，是5的倍數。統計一下他們的數量：n1=n/5。比如如果是101，則101之前應該是5,10,15,20,...,95,100共101/5=20個數字滿足要求。

整除操作滿足上面的數量統計要求。

2、將1中的這些數碼化成5*(1、2、3、4、5、...)的形式，內部的1、2、3、4、5、...又滿足上面的分析：每5個數字有乙個是5的倍數。抽取為：

...、25、...、50、...、75、...、100、...、125、...

而這些數字都是25的倍數（5的2次冪的倍數），自然也都滿足5*k的要求。

這些數字是25、50、75、100、125、...=5*(5、10、15、20、25、...)=5*5*(1、2、3、4、5、...)，內部的1、2、3、4、5、...又滿足上面的分析，因此後續的操作重複上述步驟即可。

統計一下第二次中滿足條件的數字數量：n2=n/5/5，101/25=(101/5)/5=4。

因為25、50、75、100、125、...它們都滿足相乘後產生至少兩個0，在第一次5*k分析中已經統計過一次。對於n=101，是20。因此此處的5*5*k只要統計一次4即可，不需要根據25是5的二次冪統計兩次。

後面的125,250,...等乘積為1000的可以為結果貢獻3個0的數字，只要在5*5*k的基礎上再統計一次n3=((n/5)/5)/5即可。

3、第三次

其實到這裡已經不用再寫，規律已經很清楚了。對於例子n=101，只要根據規律進行101/125=((101/5)/5)/5=4/5=0，退出統計。因此最終結果是20+4=24。計算結束。

演算法3**

下面編寫打碼實現上面的思想。

public
class
solution 
return count;}}

**分析：

演算法中每次迴圈均有除以5的操作，也就是每次都會將所要處理的資料量縮小至上一次的1/5，容易推知時間複雜度為o(logn)。

至此，問題解決。

public
class
test
}

因為11不超過int型別的最大長度，所以並不會報錯。但是如果是5555550000000，則會報錯:

the literal 5555550000000 oftype int is outof range

將數值進行強制型別轉換也不行：long innum=(long)5555550000000;。

一種解決方法是使用scanner直接讀取數值。

改進後的**如下：

public
class
test
}

這時輸入5555550000000則不會報錯。

另外，如果需要的話，可使用system.currenttimemillis();觀察**執行時間。

從最終的**來看，問題是挺簡單的。之所以折騰這麼久都沒有切入要害，直接做到真正的時間複雜度為o(logn)的效果，個人覺得是因為從分析題目的時候就沒有真正理解o(logn)的真正含義。

類似於二叉搜尋樹，從根節點開始比較，比根節點小則與左子樹比較，比根節點大則與右子樹比較，相等或到達葉子節點則退出。如此迴圈迭代。

每次判斷後，下一次可搜尋的資料量均為上一次的1/2，如此迴圈複雜度為o(logn)。

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